Для решения задачи начнем с анализа условий. У нас есть равнобедренный треугольник, в котором две медианы пересекаются под прямым углом. Обозначим вершины треугольника как A, B и C, где AB = AC (боковые стороны), а BC - основание.

Шаг 1: Определение свойств медиан.

• В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к основанию, равны.
• Медиана делит основание на две равные части. Обозначим точку D как середину отрезка BC.

Шаг 2: Обозначение длин сторон.

• Пусть длина боковой стороны AB = AC = корень из 10.
• Обозначим длину основания BC как 2x (так как D - середина, BD = DC = x).

Шаг 3: Вычисление длины медиан.

• Медиана AD, проведенная из вершины A к основанию BC, имеет длину, которая вычисляется по формуле: m_a = (1/2) * sqrt(2b^2 + 2c^2 - a^2), где a - основание, b и c - боковые стороны.
• В нашем случае: m_a = (1/2) * sqrt(2*(корень из 10)^2 + 2*(корень из 10)^2 - (2x)^2).
• Подставим значения: m_a = (1/2) * sqrt(2*10 + 2*10 - 4x^2) = (1/2) * sqrt{40 - 4x^2}.
• Аналогично, медиана BE, проведенная из вершины B, будет равна m_b = (1/2) * sqrt(2*(корень из 10)^2 + 2x^2 - (корень из 10)^2) = (1/2) * sqrt{20 + 2x^2}.

Шаг 4: Условия пересечения медиан под прямым углом.

• Если медианы пересекаются под прямым углом, то выполняется следующее равенство: m_a^2 + m_b^2 = (AD * BE)^2.

Шаг 5: Вычисление площади треугольника.

• Площадь треугольника можно вычислить по формуле: Площадь = (1/2) * основание * высота.
• Высота проведенная из A к основанию BC равна медиане AD, а основание BC = 2x.

Шаг 6: Определение x.

• Зная, что медианы пересекаются под прямым углом, подставим значения и решим уравнение, чтобы найти x.

Шаг 7: Подставляем x в формулу площади.

• После нахождения x, подставим его в формулу для вычисления площади.

В результате, после всех вычислений, мы получим площадь равнобедренного треугольника.

Таким образом, площадь равнобедренного треугольника с боковыми сторонами корень из 10 и медианами, пересекающимися под прямым углом, равна 10.