Для нахождения площади трапеции ABCD, в которую можно вписать окружность, воспользуемся свойством, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. В нашем случае это означает, что:

• AD = 8 (одна из боковых сторон)
• Угол A = 90° и угол D = 60°.

Так как угол A равен 90°, то сторона AB будет перпендикулярна стороне AD. Это значит, что треугольник ABD является прямоугольным.

Обозначим длину стороны AB как h (высоту трапеции). Поскольку угол D равен 60°, то мы можем использовать тригонометрические функции:

• Согласно определению тангенса, tan(60°) = h / AD.
• Из этого следует, что h = AD * tan(60°) = 8 * sqrt(3).

Так как ABCD - трапеция с вписанной окружностью, то также можем использовать свойство, что сумма оснований равна сумме боковых сторон:

• Обозначим длину стороны BC как x.
• Согласно свойству, AD + BC = AB + CD.

Однако, для нахождения стороны CD нам нужно использовать треугольник ABD. Мы можем найти длину CD, используя косинус угла D:

• CD = AB / cos(60°) = h / (1/2) = 2h = 2 * (8 * sqrt(3)).

Площадь S трапеции можно найти по формуле:

S = (AB + CD) * h / 2.

Подставим найденные значения:

• AB = h = 8 * sqrt(3);
• CD = 2 * (8 * sqrt(3));

Считаем:

• Сумма оснований = AB + CD = (8 * sqrt(3)) + (16 * sqrt(3)) = 24 * sqrt(3).
• Площадь S = (24 * sqrt(3)) * (8 * sqrt(3)) / 2 = 96.

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна 96 квадратных единиц.