Похожие вопросы
2025-11-01 14:27:52
1. Даны вершины треугольника A(3;7;-4), B(5;-3;2), C(1;3;-10). Как найти площадь этого треугольника?
2. Векторы a{-20;10;-15} и b{a;-2;3}. При каком значении a векторы a и b будут перпендикулярны?
3. В параллелограмме ABCD вершина A имеет координаты (-5;2;8), вектор AB равен (-3;4;1), а вектор BD равен (-2;4;-1). Как найти координаты точки пересечения диагоналей?
Геометрия 11 класс Векторы и координаты в пространстве площадь треугольника координаты треугольника векторы перпендикулярные векторы параллелограмм координаты параллелограмма пересечение диагоналей
2025-11-01 14:28:22
Давайте по порядку разберем каждую из задач.
1. Нахождение площади треугольника с заданными вершинами.Для нахождения площади треугольника, заданного вершинами A, B и C в пространстве, можно использовать формулу через векторы.
- Сначала найдем векторы AB и AC:
- Вектор AB = B - A = (5 - 3; -3 - 7; 2 - (-4)) = (2; -10; 6).
- Вектор AC = C - A = (1 - 3; 3 - 7; -10 - (-4)) = (-2; -4; -6).
- Теперь найдем векторное произведение векторов AB и AC:
- Векторное произведение AB x AC = |i j k|
- |2 -10 6|
- |-2 -4 -6|
- Раскроем определитель:
- i((-10) * (-6) - 6 * (-4)) - j(2 * (-6) - 6 * (-2)) + k(2 * (-4) - (-10) * (-2))
- Это дает: i(60 + 24) - j(-12 + 12) + k(-8 - 20) = 84i + 0j - 28k.
- Таким образом, векторное произведение равно (84; 0; -28).
- Теперь найдем длину этого векторного произведения:
- Длина = sqrt(84^2 + 0^2 + (-28)^2) = sqrt(7056 + 784) = sqrt(7840).
- Считаем: sqrt(7840) = 88.5.
- Площадь треугольника равна половине длины векторного произведения:
- Площадь = 1/2 * 88.5 = 44.25.
Таким образом, площадь треугольника ABC равна 44.25.
2. Условия перпендикулярности векторов a и b.Векторы a и b будут перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
- Сначала запишем скалярное произведение:
- a * b = (-20) * a + 10 * (-2) + (-15) * 3.
- Это равно: -20a - 20 - 45 = -20a - 65.
- Теперь установим равенство к нулю:
- -20a - 65 = 0.
- Решим это уравнение:
- -20a = 65
- a = -65 / -20 = 3.25.
Таким образом, векторы a и b будут перпендикулярны при a = 3.25.
3. Нахождение координат точки пересечения диагоналей параллелограмма.В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке, которая является средней точкой обеих диагоналей.
- Сначала найдем координаты точки B и D:
- Координаты точки B = A + AB = (-5; 2; 8) + (-3; 4; 1) = (-8; 6; 9).
- Координаты точки D = B + BD = (-8; 6; 9) + (-2; 4; -1) = (-10; 10; 8).
- Теперь найдем координаты точки пересечения диагоналей (средняя точка AC):
- Координаты точки C = D + BC = (-10; 10; 8) + (2; -4; -1) = (-8; 6; 7).
- Теперь находим среднюю точку AC: M = (A + C) / 2.
- Координаты точки M = ((-5 - 8) / 2; (2 + 6) / 2; (8 + 7) / 2) = (-6.5; 4; 7.5).
Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма ABCD равны (-6.5; 4; 7.5).