Давайте разберем каждый пункт задачи по порядку.

1. Рассмотрим точки A (1; -2),B (3; 6),C (5; -2).

1. a. Определите координаты векторов AB и CB.
   • Вектор AB: чтобы найти координаты вектора, нужно вычесть координаты начальной точки из координат конечной точки. Для вектора AB это будет:
     • AB_x = B_x - A_x = 3 - 1 = 2
     • AB_y = B_y - A_y = 6 - (-2) = 6 + 2 = 8
     Таким образом, координаты вектора AB: (2; 8).
   • Вектор CB: аналогично, для вектора CB:
     • CB_x = B_x - C_x = 3 - 5 = -2
     • CB_y = B_y - C_y = 6 - (-2) = 6 + 2 = 8
     Таким образом, координаты вектора CB: (-2; 8).
2. b. Найдите координаты точки M, которая делит пополам отрезок AB.
   • Чтобы найти координаты середины отрезка, нужно взять среднее арифметическое координат его концов:
     • M_x = (A_x + B_x) / 2 = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2
     • M_y = (A_y + B_y) / 2 = (-2 + 6) / 2 = 4 / 2 = 2
     Таким образом, координаты точки M: (2; 2).
3. c. Вычислите длину отрезка CM.
   • Длину отрезка можно найти по формуле расстояния между двумя точками:
     • CM = √((M_x - C_x)^2 + (M_y - C_y)^2)
     • CM = √((2 - 5)^2 + (2 - (-2))^2) = √((-3)^2 + (4)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5
     Таким образом, длина отрезка CM равна 5.
4. г. Является ли четырехугольник ABDC параллелограммом, если D (7; 6)?
   • Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо, чтобы его противоположные стороны были параллельны и равны. Проверим пары сторон:
     • AB = (2; 8),CD = (7 - 5; 6 - (-2)) = (2; 8)
     • BC = (5 - 3; -2 - 6) = (2; -8),AD = (7 - 1; 6 - (-2)) = (6; 8)
   • Стороны AB и CD равны и параллельны, но BC и AD не равны и не параллельны. Следовательно, четырехугольник ABDC не является параллелограммом.

2. Докажите, что треугольник ABC является прямоугольным, если A (-5; 2),B (5; 2),C (3; 6).

• Для доказательства того, что треугольник является прямоугольным, необходимо показать, что один из его углов равен 90 градусам. Мы можем это сделать, проверив, что скалярное произведение векторов, образующих этот угол, равно нулю.
• Вектор AB: (5 - (-5); 2 - 2) = (10; 0)
• Вектор BC: (3 - 5; 6 - 2) = (-2; 4)
• Скалярное произведение AB и BC: (10 * -2) + (0 * 4) = -20 + 0 = -20
• Вектор AC: (3 - (-5); 6 - 2) = (8; 4)
• Скалярное произведение AB и AC: (10 * 8) + (0 * 4) = 80 + 0 = 80
• Скалярное произведение BC и AC: (-2 * 8) + (4 * 4) = -16 + 16 = 0
• Поскольку скалярное произведение BC и AC равно нулю, угол между векторами BC и AC равен 90 градусам, значит треугольник ABC является прямоугольным.