Вопрос по геометрии: Три вершины параллелограмма ABCD заданы точками A(2; 3; 4), B(-3; 5; -3) и C(3; -3; -2).

1. Каковы координаты вершины D?
2. Какова длина векторов BD и AC?

Геометрия 11 класс Векторы и координаты в пространстве координаты вершины D длина векторов BD длина векторов AC параллелограмм ABCD геометрия 11 класс задачи по геометрии векторы в геометрии Новый

Для нахождения координат вершины D параллелограмма ABCD, мы можем воспользоваться свойством, что диагонали параллелограмма пересекаются в их серединах. Это означает, что векторы AC и BD равны по длине и направлению, а их середины совпадают.

1. Сначала найдем координаты середины отрезка AC. Координаты середины отрезка между двумя точками A(x1, y1, z1) и C(x2, y2, z2) вычисляются по формуле:

• М(x, y, z) = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2, (z1 + z2)/2)

Подставим координаты точек A(2; 3; 4) и C(3; -3; -2):

• Mx = (2 + 3) / 2 = 5 / 2 = 2.5
• My = (3 + (-3)) / 2 = 0 / 2 = 0
• Mz = (4 + (-2)) / 2 = 2 / 2 = 1

Таким образом, координаты середины AC: M(2.5; 0; 1).

2. Теперь найдем координаты середины отрезка BD. Пусть D(x, y, z) - координаты искомой вершины. Середина отрезка BD также должна совпадать с M(2.5; 0; 1).

Координаты середины BD можно выразить так:

• Mx = (-3 + x) / 2
• My = (5 + y) / 2
• Mz = (-3 + z) / 2

Теперь приравняем координаты середины BD к координатам M:

• (-3 + x) / 2 = 2.5
• (5 + y) / 2 = 0
• (-3 + z) / 2 = 1

Решим каждое уравнение:

1. Для x:
   • -3 + x = 5
   • x = 5 + 3 = 8
2. Для y:
   • 5 + y = 0
   • y = 0 - 5 = -5
3. Для z:
   • -3 + z = 2
   • z = 2 + 3 = 5

Таким образом, координаты точки D равны D(8; -5; 5).

Теперь найдем длины векторов BD и AC.

3. Для нахождения длины вектора, мы используем формулу:

• Длина вектора AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)

Сначала найдем длину вектора AC:

• A(2; 3; 4) и C(3; -3; -2):
• Длина AC = √((3 - 2)² + (-3 - 3)² + (-2 - 4)²)
• Длина AC = √(1² + (-6)² + (-6)²) = √(1 + 36 + 36) = √73.

Теперь найдем длину вектора BD:

• B(-3; 5; -3) и D(8; -5; 5):
• Длина BD = √((8 - (-3))² + (-5 - 5)² + (5 - (-3))²)
• Длина BD = √((8 + 3)² + (-10)² + (5 + 3)²) = √(11² + 100 + 8²) = √(121 + 100 + 64) = √285.

Таким образом, мы нашли координаты вершины D и длины векторов:

• Координаты вершины D: (8; -5; 5)
• Длина вектора AC: √73
• Длина вектора BD: √285