Задача 1: Найти координаты точки B, если M принадлежит отрезку AB.

Дано: A(1; -4; 3), M(-1; -2; 1).

1. Поскольку AM = MB, это означает, что точка M делит отрезок AB пополам. Для нахождения координат точки B воспользуемся формулой для нахождения координат точки, делящей отрезок в заданном отношении.

2. Если AM : MB = 2 : 3, это значит, что точка M делит отрезок AB в отношении 2:3. Мы можем использовать формулу для нахождения координат точки, делящей отрезок AB в отношении k1:k2:

Координаты точки B можно найти по формуле:

• B_x = (M_x * k2 + A_x * k1) / (k1 + k2)
• B_y = (M_y * k2 + A_y * k1) / (k1 + k2)
• B_z = (M_z * k2 + A_z * k1) / (k1 + k2)

Где k1 = 2, k2 = 3.

3. Подставим значения:

• B_x = (-1 * 3 + 1 * 2) / (2 + 3) = (-3 + 2) / 5 = -1/5
• B_y = (-2 * 3 + (-4) * 2) / (2 + 3) = (-6 - 8) / 5 = -14/5
• B_z = (1 * 3 + 3 * 2) / (2 + 3) = (3 + 6) / 5 = 9/5

Таким образом, координаты точки B равны: B(-1/5; -14/5; 9/5).

Задача 2: Найти точку, принадлежащую оси ординат и равноудалённую от точек A и B.

Дано: A(-2; 3; 1), B(1; 2; -4).

1. Точка, принадлежащая оси ординат, имеет координаты вида (0; y; 0).

2. Найдём расстояния от точки P(0; y; 0) до точек A и B. Используем формулу расстояния между двумя точками в пространстве:

Расстояние d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2).

3. Расстояние от P до A:

• d_PA = sqrt((-2 - 0)^2 + (3 - y)^2 + (1 - 0)^2) = sqrt(4 + (3 - y)^2 + 1) = sqrt(5 + (3 - y)^2).

4. Расстояние от P до B:

• d_PB = sqrt((1 - 0)^2 + (2 - y)^2 + (-4 - 0)^2) = sqrt(1 + (2 - y)^2 + 16) = sqrt(17 + (2 - y)^2).

5. Установим равенство расстояний:

• sqrt(5 + (3 - y)^2) = sqrt(17 + (2 - y)^2).

6. Возведем обе части в квадрат:

• 5 + (3 - y)^2 = 17 + (2 - y)^2.

7. Раскроем скобки и упростим уравнение:

• (3 - y)^2 - (2 - y)^2 = 12.

8. Решим уравнение и найдем значение y.

Задача 3: Найти расстояние от точки C до центроида тетраэдра AA, BD.

1. Дано: основание ABCD - квадрат, AB = 4 см, AA = 8 см.

2. Найдем координаты точек A, B, C, D:

• A(0; 0; 0)
• B(4; 0; 0)
• C(4; 4; 0)
• D(0; 4; 0)
• A(0; 0; 8)

3. Центроид тетраэдра AA, BD находится по формуле:

• G_x = (A_x + A_x + B_x + D_x) / 4
• G_y = (A_y + A_y + B_y + D_y) / 4
• G_z = (A_z + A_z + B_z + D_z) / 4

4. Подставим координаты и найдем G.

5. Затем найдем расстояние от точки C до точки G, используя формулу расстояния.

Таким образом, мы рассмотрели все три задачи и нашли решения для каждой, используя соответствующие формулы и методы. Если есть вопросы по конкретным шагам, пожалуйста, уточните!