Как можно доказать, что боковые поверхности двух цилиндров с равными объемами обратно пропорциональны радиусам их оснований?

Геометрия 11 класс Цилиндры доказательство боковых поверхностей цилиндров объём цилиндра радиус основания цилиндра пропорциональность цилиндров геометрия 11 класс Новый

Чтобы доказать, что боковые поверхности двух цилиндров с равными объемами обратно пропорциональны радиусам их оснований, начнем с определения необходимых формул.

1. Формула объема цилиндра:

• Объем V цилиндра можно выразить как V = πr²h, где r - радиус основания, h - высота цилиндра.

2. Формула боковой поверхности цилиндра:

• Боковая поверхность S цилиндра вычисляется по формуле S = 2πrh.

Теперь предположим, что у нас есть два цилиндра с равными объемами V1 и V2:

• V1 = πr1²h1
• V2 = πr2²h2

Поскольку объемы равны, мы можем записать:

πr1²h1 = πr2²h2

Упростим это уравнение, сократив π:

r1²h1 = r2²h2

Теперь выразим высоты h1 и h2 через радиусы:

• h1 = (r2²h2) / r1²
• h2 = (r1²h1) / r2²

Теперь подставим h1 в формулу боковой поверхности первого цилиндра:

S1 = 2πr1h1 = 2πr1 * (r2²h2 / r1²) = (2πr2²h2) / r1

Аналогично, подставим h2 в формулу боковой поверхности второго цилиндра:

S2 = 2πr2h2 = 2πr2 * (r1²h1 / r2²) = (2πr1²h1) / r2

Теперь мы можем записать соотношение между боковыми поверхностями S1 и S2:

S1 / S2 = (2πr2²h2 / r1) / (2πr1²h1 / r2)

Сократив 2π, получим:

S1 / S2 = (r2²h2 / r1) * (r2 / r1²h1) = (r2³h2) / (r1³h1)

Так как объемы V1 и V2 равны, мы знаем, что h1 и h2 обратно пропорциональны r1 и r2. Это значит, что:

h1 = k/r1 и h2 = k/r2, где k - некоторая константа, связанная с объемами.

Подставив это обратно, мы можем увидеть, что:

S1 / S2 = (r2³ * (k/r2)) / (r1³ * (k/r1)) = (r2²) / (r1²) * (r1 / r2) = r2 / r1

Таким образом, мы приходим к выводу, что боковые поверхности S1 и S2 обратно пропорциональны радиусам оснований r1 и r2:

S1 / S2 = r2 / r1

В итоге, мы доказали, что боковые поверхности двух цилиндров с равными объемами обратно пропорциональны радиусам их оснований.