Как можно найти объем конуса, если его образующая образует угол 60 градусов с плоскостью основания, а полная поверхность конуса составляет 48пи см в квадрате?

Геометрия 11 класс Объём конуса объем конуса угол 60 градусов полная поверхность конуса геометрия 11 класс формула объема конуса Новый

Чтобы найти объем конуса, нам нужно использовать несколько формул и понять, как они связаны между собой. Давайте разберем шаги решения этой задачи.

Шаг 1: Понимание параметров конуса

Конус имеет следующие параметры:

• r - радиус основания конуса
• h - высота конуса
• l - образующая конуса (длина наклонной стороны)

Из условия задачи мы знаем, что образующая образует угол 60 градусов с плоскостью основания. Это означает, что мы можем использовать тригонометрию, чтобы выразить высоту и радиус через образующую.

Шаг 2: Связь между высотой, радиусом и образующей

Используя тригонометрические функции, можем записать:

• h = l * sin(60°)
• r = l * cos(60°)

Здесь sin(60°) = √3/2, а cos(60°) = 1/2. Подставим эти значения:

• h = l * (√3/2)
• r = l * (1/2)

Шаг 3: Формула полной поверхности конуса

Полная поверхность конуса (S) складывается из площади основания и площади боковой поверхности:

S = πr² + πrl

Подставим выражения для r и h:

• r = l/2

Тогда:

• πr² = π(l/2)² = π(l²/4)
• πrl = π(l/2) * l = π(l²/2)

Теперь подставим эти значения в формулу полной поверхности:

S = π(l²/4) + π(l²/2) = π(l²/4 + 2l²/4) = π(3l²/4)

Шаг 4: Подстановка известного значения

Из условия задачи нам известно, что полная поверхность конуса составляет 48π см². Сравним это с нашей формулой:

48π = π(3l²/4)

Упростим это уравнение, разделив обе стороны на π:

48 = 3l²/4

Умножим обе стороны на 4:

192 = 3l²

Теперь разделим обе стороны на 3:

l² = 64

Итак, l = √64 = 8 см.

Шаг 5: Нахождение радиуса и высоты

Теперь, когда мы знаем образующую, можем найти радиус и высоту:

• r = l/2 = 8/2 = 4 см
• h = l * (√3/2) = 8 * (√3/2) = 4√3 см

Шаг 6: Нахождение объема конуса

Теперь мы можем найти объем конуса (V) по формуле:

V = (1/3) * πr²h

Подставим наши значения:

• V = (1/3) * π * (4)² * (4√3)
• V = (1/3) * π * 16 * 4√3
• V = (64/3) * π√3 см³

Таким образом, объем конуса составляет (64/3) * π√3 см³.