Какое расстояние от центра основания конуса до его образующей, если оно равно 3 см, а угол при вершине осевого сечения составляет 120 градусов? Как найти объем этого конуса?

Геометрия 11 класс Объём конуса расстояние от центра основания конуса образующая конуса угол при вершине объем конуса осевое сечение конуса Новый

Для решения задачи сначала найдем расстояние от центра основания конуса до его образующей, используя данные, которые у нас есть.

У нас есть угол при вершине осевого сечения конуса, который равен 120 градусов. Это значит, что при осевом сечении конуса мы можем рассмотреть равнобедренный треугольник, где:

• одна сторона - это образующая конуса (п), равная 3 см;
• другая сторона - это радиус основания (r), который мы будем искать;
• угол между этими двумя сторонами - 120 градусов.

Чтобы найти радиус основания, мы можем использовать тригонометрические функции. Мы знаем, что:

• в треугольнике, образованном радиусом основания, образующей и высотой, угол при вершине равен 120 градусов;
• в этом треугольнике высота делит угол на два равных угла по 60 градусов.

Теперь, используя косинус угла, мы можем выразить радиус основания:

1. Косинус угла 60 градусов равен 0.5. Это значит, что:
2. r = p * cos(60°) = 3 см * 0.5 = 1.5 см.

Теперь мы знаем, что радиус основания конуса равен 1.5 см.

Теперь давайте найдем объем конуса. Формула для объема конуса выглядит следующим образом:

V = (1/3) * π * r² * h

Где:

• V - объем конуса;
• r - радиус основания (1.5 см);
• h - высота конуса.

Чтобы найти высоту конуса, мы можем воспользоваться синусом угла 60 градусов:

1. Синус угла 60 градусов равен √3/2. Таким образом, высота будет равна:
2. h = p * sin(60°) = 3 см * (√3/2) ≈ 3 см * 0.866 = 2.598 см.

Теперь подставим значения радиуса и высоты в формулу для объема:

1. V = (1/3) * π * (1.5 см)² * (2.598 см);
2. V = (1/3) * π * 2.25 см² * 2.598 см;
3. V ≈ (1/3) * π * 5.8485 см³;
4. V ≈ 6.144 см³ (при использовании приближенного значения π ≈ 3.14).

Таким образом, объем конуса составляет приблизительно 6.144 см³.