Осевое сечение конуса - правильный треугольник. Как можно найти радиус и высоту конуса, если его объём равен 64/√3 см3? В основании конуса проведена хорда AB, равная 8 дм и отстоящая от центра окружности на 3 дм. Через вершину конуса и эту хорду проведена плоскость. Угол между высотой конуса и этой плоскостью равен 30°. Как можно найти объём данного конуса?

Геометрия 11 класс Объём конуса осевое сечение конуса радиус конуса высота конуса объем конуса правильный треугольник хорда AB угол 30 градусов геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти объём конуса, давайте разберёмся с данными, которые у нас есть, и как они связаны друг с другом.

Дано:

• Объём конуса V = 64/√3 см³.
• Длина хорды AB в основании конуса = 8 дм = 80 см.
• Расстояние от центра окружности до хорды = 3 дм = 30 см.
• Угол между высотой конуса и плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду, равен 30°.

Шаг 1: Найдём радиус основания конуса.

Для начала, чтобы найти радиус основания R конуса, воспользуемся свойствами хорды и расстояния до неё. Радиус R, хорда AB и расстояние от центра до хорды образуют прямоугольный треугольник, где:

• Половина хорды (AB) = 80 см / 2 = 40 см.
• Расстояние от центра до хорды = 30 см.

По теореме Пифагора можем найти R:

1. R^2 = (половина хорды)^2 + (расстояние до хорды)^2.
2. R^2 = 40^2 + 30^2 = 1600 + 900 = 2500.
3. R = √2500 = 50 см.

Шаг 2: Найдём высоту конуса.

Объём конуса V можно выразить через радиус основания и высоту (h) по формуле:

V = (1/3) * π * R^2 * h.

Подставим известные значения:

1. 64/√3 = (1/3) * π * (50^2) * h.
2. 64/√3 = (1/3) * π * 2500 * h.
3. h = (64/√3) / ((1/3) * π * 2500).

Теперь упростим это выражение:

1. h = (64 * 3) / (π * 2500) * 3 = 192 / (π * 2500).

Шаг 3: Найдём объём конуса с учётом угла 30°.

Учитывая, что угол между высотой и плоскостью равен 30°, это означает, что высота конуса будет равна h * cos(30°). Однако, в данной задаче нам не нужно это учитывать для нахождения объёма, так как объём уже известен.

Итак, объём данного конуса равен:

V = 64/√3 см³.

Таким образом, радиус основания конуса равен 50 см, а высота конуса равна 192 / (π * 2500) см. Мы нашли необходимые значения, используя свойства геометрии и формулы для объёма конуса.