Каков объём конуса, если его осевое сечение представляет собой прямоугольный треугольник с гипотенузой 12 см?

Геометрия 11 класс Объём конуса объем конуса осевое сечение прямоугольный треугольник гипотенуза 12 см геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти объём конуса, нам нужно знать его радиус основания и высоту. Давайте начнём с осевого сечения, которое представляет собой прямоугольный треугольник с гипотенузой 12 см.

В прямоугольном треугольнике мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Обозначим катеты как a и b, а гипотенузу как c. В нашем случае c = 12 см.

Сначала определим, какие размеры имеет конус. В конусе высота (h) будет равна одному из катетов, а радиус основания (r) будет равен другому катету. Поэтому мы можем записать:

Теорема Пифагора:

a² + b² = c²

где c = 12 см.

Теперь, чтобы найти объём конуса, используем формулу:

Формула объёма конуса:

V = (1/3) * π * r² * h

Теперь давайте рассмотрим, как мы можем выразить радиус и высоту через катеты a и b. Мы можем предположить, что a и b равны, что часто встречается в задачах, чтобы упростить решение. В этом случае:

2a² = 12²

2a² = 144

a² = 72

a = √72 = 6√2 см

Таким образом, если a = b, то:

• r = a = 6√2 см
• h = b = 6√2 см

Теперь подставим значения радиуса и высоты в формулу для объёма:

V = (1/3) * π * (6√2)² * (6√2)

V = (1/3) * π * 72 * 6√2

V = (1/3) * π * 432√2

V = 144√2 * π см³

Таким образом, объём конуса составляет 144√2 * π см³. Если вам нужно приближенное значение, можете подставить π ≈ 3.14:

V ≈ 144√2 * 3.14 ≈ 144 * 1.414 * 3.14 ≈ 636.18 см³.

Ответ: объём конуса равен примерно 636.18 см³.