Какое расстояние от центра основания конуса до его образующей, если оно равно 3 см, и угол при вершине осевого сечения составляет 120 градусов? Как найти объем этого конуса?

Геометрия 11 класс Объём конуса расстояние от центра основания конуса образующая конуса угол при вершине осевое сечение конуса объем конуса геометрия 11 класс Новый

Чтобы решить эту задачу, начнем с того, что у нас есть конус, у которого радиус основания (r) равен 3 см, а угол при вершине (угол α) осевого сечения составляет 120 градусов.

Шаг 1: Найдем высоту конуса.

В осевом сечении конус выглядит как равнобедренный треугольник, где:

• длина образующей (l) - это сторона треугольника,
• высота (h) - это перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на основание,
• радиус основания (r) - это половина основания треугольника.

Угол при вершине треугольника равен 120 градусов, следовательно, угол между образующей и высотой составляет 60 градусов (половина угла 120 градусов).

Используем тригонометрию для нахождения высоты:

• tan(60°) = h / r,
• где r = 3 см.

Так как tan(60°) = √3, мы можем записать:

√3 = h / 3.

Отсюда, высота (h) будет равна:

h = 3 * √3 см.

Шаг 2: Найдем объем конуса.

Формула для объема конуса:

V = (1/3) * π * r² * h.

Подставим значения:

• r = 3 см,
• h = 3 * √3 см.

Тогда объем V будет равен:

V = (1/3) * π * (3)² * (3 * √3).

V = (1/3) * π * 9 * (3 * √3).

V = (1/3) * π * 27√3.

V = 9√3 * π см³.

Ответ:

Расстояние от центра основания конуса до его образующей равно 3 см, а объем конуса составляет 9√3 * π см³.