Как можно определить длину бокового ребра правильной четырёхугольной призмы, если известно, что её диагональ образует угол 30 градусов с боковой гранью и имеет длину 7√2 см?

Геометрия 11 класс Правильные призмы и их свойства длина бокового ребра правильная четырехугольная призма диагональ угол 30 градусов длина диагонали геометрия 11 класс Новый

Чтобы определить длину бокового ребра правильной четырёхугольной призмы, давайте разберёмся с данной информацией. Мы знаем, что диагональ призмы образует угол 30 градусов с боковой гранью и имеет длину 7√2 см.

Правильная четырёхугольная призма состоит из двух квадратных оснований и четырёх прямоугольных боковых граней. Давайте обозначим:

• h - длина бокового ребра (высота призмы),
• a - длина стороны основания (квадрата).

Теперь мы можем использовать треугольник, который образуется диагональю и боковым ребром:

1. Диагональ основания квадрата равна a√2 (по теореме Пифагора).
2. Диагональ призмы будет равна √(a² + h²), так как она соединяет два противоположных угла на верхнем и нижнем основании.
3. Согласно условию задачи, угол между диагональю и боковой гранью равен 30 градусов.

Из этого следует, что мы можем использовать тригонометрию. Для треугольника, где диагональ является гипотенузой, а боковое ребро - одной из сторон, можно записать:

cos(30°) = (длина бокового ребра) / (длина диагонали).

Подставим известные значения:

cos(30°) = √3/2, длина диагонали = 7√2 см.

Теперь подставим это в уравнение:

√3/2 = h / (7√2).

Теперь решим это уравнение для h:

h = (7√2 * √3) / 2.

Упрощаем это выражение:

h = (7√6) / 2 см.

Таким образом, длина бокового ребра правильной четырёхугольной призмы равна (7√6) / 2 см.