Какова длина периметра основания правильной треугольной призмы A...C1, если угол между плоскостями BA1C и ABC составляет 60°, а площадь сечения BA1C равна 8 корень из 3 см²?

Геометрия 11 класс Правильные призмы и их свойства длина периметра основание правильная треугольная призма Угол между плоскостями площадь сечения геометрия 11 класс задачи по геометрии призма треугольник формулы периметра свойства призмы Новый

Чтобы найти длину периметра основания правильной треугольной призмы A...C1, начнем с анализа данных, которые у нас есть. У нас есть площадь сечения BA1C, которая равна 8 корень из 3 см², и угол между плоскостями BA1C и ABC, равный 60°.

Первым шагом будет использование формулы для нахождения площади проекции. Площадь основания ABC, которое является проекцией сечения BA1C на это основание, можно вычислить с помощью следующей формулы:

• S(ABC) = S(BA1C) * cos(60°)

Подставляя известные значения, мы получаем:

• S(ABC) = 8√3 * cos(60°)
• cos(60°) = 1/2
• Таким образом, S(ABC) = 8√3 * (1/2) = 4√3 см².

Теперь у нас есть площадь основания ABC. Поскольку ABC является правильным треугольником, его площадь можно выразить через длину стороны a:

• S(ABC) = (a²√3)/4.

Теперь мы можем приравнять два выражения для площади ABC:

• (a²√3)/4 = 4√3.

Умножим обе стороны уравнения на 4:

• a²√3 = 16√3.

Теперь разделим обе стороны на √3:

• a² = 16.

Из этого уравнения находим сторону a:

• a = √16 = 4 см.

Теперь, зная длину стороны основания треугольника, можем вычислить периметр основания ABC. Поскольку ABC - правильный треугольник, периметр P равен 3a:

• P = 3 * 4 = 12 см.

Таким образом, длина периметра основания правильной треугольной призмы A...C1 составляет 12 см.