Все ребра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равны. Точка O - это середина ребра AB призмы. Является ли прямая C1O наклонной к плоскости ABC под углом 45 градусов? Пожалуйста, поясните свой ответ.

Геометрия 11 класс Правильные призмы и их свойства правильная треугольная призма середина ребра прямая C1O наклонная прямая угол 45 градусов плоскость ABC геометрия 11 класс свойства призмы треугольники геометрические фигуры Новый

Чтобы определить, является ли прямая C1O наклонной к плоскости ABC под углом 45 градусов, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Определим координаты точек:

• Пусть A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a/2, (a√3)/2, 0), A1(0, 0, h), B1(a, 0, h), C1(a/2, (a√3)/2, h).
• Тогда середина ребра AB, точка O, будет иметь координаты O(a/2, 0, 0).

2. Найдем вектор C1O:

• Координаты точки C1: C1(a/2, (a√3)/2, h).
• Вектор C1O = O - C1 = (a/2 - a/2, 0 - (a√3)/2, 0 - h) = (0, - (a√3)/2, -h).

3. Найдем нормальный вектор плоскости ABC:

• Плоскость ABC задана векторами AB и AC.
• Вектор AB = (a, 0, 0) - (0, 0, 0) = (a, 0, 0).
• Вектор AC = (a/2, (a√3)/2, 0) - (0, 0, 0) = (a/2, (a√3)/2, 0).
• Нормальный вектор N к плоскости ABC можно найти с помощью векторного произведения AB и AC.
• Вычислим N = AB x AC = |i j k|
  |a 0 0|
  |a/2 (a√3)/2 0| = (0, 0, a²√3/2).

4. Найдем угол между вектором C1O и нормальным вектором N:

• Сначала найдем длины векторов C1O и N:
• |C1O| = √(0² + (-(a√3)/2)² + (-h)²) = √((3a²)/4 + h²).
• |N| = a²√3/2.
• Теперь найдем косинус угла θ между векторами:
• cos(θ) = (C1O · N) / (|C1O| * |N|).

5. Вычислим угол между C1O и плоскостью ABC:

• Угол между вектором и плоскостью равен 90° - θ.
• Если cos(θ) = 1/√2, то угол между C1O и плоскостью ABC равен 45°.

Таким образом, чтобы проверить, является ли прямая C1O наклонной к плоскости ABC под углом 45 градусов, нужно провести вышеописанные вычисления. Если в итоге получится, что угол 90° - θ равен 45°, тогда прямая C1O действительно наклонная к плоскости под углом 45 градусов.