В правильной четырехугольной призме диагональ образует угол с плоскостью боковой грани, тангенс которого равен 1 деленный на корень из 2. Какое количество раз площадь боковой поверхности призмы превышает сумму площадей её основания?

Геометрия 11 класс Правильные призмы и их свойства правильная четырехугольная призма угол с плоскостью грани тангенс угла площадь боковой поверхности сумма площадей основания Новый

Для решения задачи начнем с того, что у нас есть правильная четырехугольная призма. Это означает, что ее основания являются квадратами, а боковые грани – прямоугольниками.

Обозначим сторону основания квадрата как a. Тогда площадь одного основания будет равна:

• Площадь основания = a².

Так как у нас два основания, общая площадь оснований будет:

• Сумма площадей оснований = 2 * a² = 2a².

Теперь найдем площадь боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из 4 прямоугольников, каждый из которых имеет высоту h (высота призмы). Площадь одного прямоугольника равна a * h, поэтому площадь боковой поверхности будет равна:

• Площадь боковой поверхности = 4 * (a * h) = 4ah.

Теперь нам нужно использовать информацию о тангенсе угла между диагональю и плоскостью боковой грани. Тангенс угла равен 1/√2. Это означает, что:

• tan(θ) = 1/√2, где θ – угол между диагональю и плоскостью боковой грани.

Напомним, что диагональ основания квадрата равна:

• d = a√2.

Диагональ образует треугольник с высотой h и основанием d. В этом треугольнике:

• tan(θ) = h / (a√2).

Приравняем это к 1/√2:

• h / (a√2) = 1/√2.

Теперь умножим обе стороны на a√2:

• h = a.

Теперь подставим h в формулу для площади боковой поверхности:

• Площадь боковой поверхности = 4a * a = 4a².

Теперь мы можем найти отношение площади боковой поверхности к сумме площадей оснований:

• Отношение = Площадь боковой поверхности / Сумма площадей оснований = 4a² / 2a² = 2.

Таким образом, площадь боковой поверхности призмы в 2 раза превышает сумму площадей её основания.

Ответ: 2.

1 2 3 4 5