Как можно определить высоту h и радиус основания r цилиндра, если известно, что площадь S равна 180π, а высота связана с радиусом по формуле h = r + 3?

Геометрия 11 класс Цилиндр высота цилиндра радиус основания цилиндра площадь цилиндра формула высоты цилиндра геометрия 11 класс задачи по геометрии цилиндр в геометрии Новый

Чтобы определить высоту h и радиус основания r цилиндра, нам нужно использовать данные, которые у нас есть: площадь S равна 180π, а высота h связана с радиусом r по формуле h = r + 3.

Сначала вспомним, как вычисляется площадь поверхности цилиндра. Площадь S цилиндра состоит из двух частей: площади боковой поверхности и площадей оснований. Формула для площади поверхности цилиндра выглядит так:

S = 2πr² + 2πrh

Где:

• r - радиус основания цилиндра,
• h - высота цилиндра.

Теперь подставим известные значения в формулу. Мы знаем, что S = 180π, и можем заменить h на (r + 3) в нашей формуле:

180π = 2πr² + 2πr(r + 3)

Упростим это уравнение, сначала разделив обе стороны на π:

180 = 2r² + 2r(r + 3)

Теперь упростим правую часть:

180 = 2r² + 2r² + 6r

Сложим подобные слагаемые:

180 = 4r² + 6r

Теперь перенесем все в одну сторону уравнения:

4r² + 6r - 180 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b² - 4ac

В нашем уравнении a = 4, b = 6, c = -180. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

D = 6² - 4 4 (-180) D = 36 + 2880 D = 2916

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы:

r = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения:

r = (-6 ± √2916) / (2 * 4)

Сначала найдем корень из 2916:

√2916 = 54

Теперь подставим это значение:

r = (-6 ± 54) / 8

Мы получаем два возможных значения для r:

1. r1 = (54 - 6) / 8 = 48 / 8 = 6
2. r2 = (-6 - 54) / 8 = -60 / 8 = -7.5 (это значение не подходит, так как радиус не может быть отрицательным)

Таким образом, мы находим, что радиус основания r равен 6.

Теперь подставим значение радиуса в формулу для высоты:

h = r + 3 = 6 + 3 = 9

Таким образом, мы получили:

• Радиус основания r = 6
• Высота h = 9