Давайте разберем задачу по частям и найдем необходимые элементы цилиндра. Начнем с анализа условий задачи и постараемся представить, как это выглядит в пространстве.

Во-первых, осевое сечение цилиндра - это прямоугольник, в котором одна сторона равна высоте цилиндра, а другая - диаметру основания. Диагональ этого прямоугольника равна 12 см и наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов.

Теперь перейдем к решению:

1. Высота цилиндра.
   • Пусть высота цилиндра равна h, а диаметр основания равен d.
   • По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника в осевом сечении имеем: h² + (d/2)² = 12².
   • Так как диагональ наклонена под углом 60 градусов к плоскости основания, то высота h будет равна произведению диагонали на синус угла: h = 12 * sin(60°).
   • Синус 60 градусов равен √3/2, значит, h = 12 * √3/2 = 6√3 см.
2. Радиус цилиндра.
   • Теперь найдем диаметр d. Из уравнения для диагонали: h² + (d/2)² = 12².
   • Подставим найденную высоту: (6√3)² + (d/2)² = 12².
   • Упростим: 108 + (d/2)² = 144.
   • Отсюда: (d/2)² = 36, значит, d/2 = 6.
   • Таким образом, диаметр d = 12, а радиус r = d/2 = 6 см.
3. Площадь боковой поверхности цилиндра.
   • Формула для площади боковой поверхности цилиндра: S = 2πrh.
   • Подставим найденные значения: S = 2π * 6 * 6√3.
   • Упростим: S = 72π√3 см².

Таким образом, мы нашли все необходимые величины: высота цилиндра 6√3 см, радиус 6 см, и площадь боковой поверхности 72π√3 см².

К сожалению, я не могу предоставить рисунок, но вы можете самостоятельно изобразить цилиндр, выделив осевое сечение в виде прямоугольника с диагональю 12 см, наклоненной под углом 60 градусов к основанию.