Как можно определить высоту и площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна 8 м, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов?

Геометрия 11 класс Правильные четырехугольные пирамиды высота пирамиды площадь боковой поверхности правильная четырехугольная пирамида сторона основания 8 м угол наклона 60 градусов Новый

Чтобы определить высоту и площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Определение высоты пирамиды:

Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание. В нашем случае сторона основания равна 8 м. Наклон боковой грани под углом 60 градусов к плоскости основания означает, что мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты.

Сначала найдем длину отрезка, который соединяет вершину пирамиды с центром основания. Этот отрезок будет являться высотой пирамиды. Обозначим высоту пирамиды как h, а длину отрезка от центра основания до вершины как l (это будет длина образующей).

• Сторона основания равна 8 м, следовательно, радиус описанной окружности (расстояние от центра основания до вершины) равен половине длины стороны, то есть 4 м.
• Согласно свойствам треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей, можем использовать тангенс угла наклона:

tan(60°) = h / 4

Из этого уравнения мы можем выразить h:

h = 4 * tan(60°)

Зная, что tan(60°) = √3, получаем:

h = 4 * √3 ≈ 6.93 м.

2. Определение площади боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды можно найти, зная площадь одной боковой грани и количество боковых граней.

• Каждая боковая грань представляет собой равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника равна h, а основание равнобедренного треугольника - это сторона основания пирамиды, равная 8 м.
• Площадь одной боковой грани (S) можно найти по формуле:

S = (1/2) * основание * высота

где основание = 8 м, а высота треугольника (которая является длиной отрезка от вершины до середины стороны основания) равна l.

Для нахождения l используем косинус угла наклона:

cos(60°) = 4 / l

Отсюда l = 4 / cos(60°) = 4 / (1/2) = 8 м.

Теперь можем найти площадь одной боковой грани:

S = (1/2) * 8 * 8 = 32 м².

Поскольку у нас 4 боковые грани, общая площадь боковой поверхности будет:

Площадь боковой поверхности = 4 * S = 4 * 32 = 128 м².

Итак, в итоге:

• Высота пирамиды: h ≈ 6.93 м.
• Площадь боковой поверхности: 128 м².