Какой угол образует боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды SABCD, все рёбра которой равны, с плоскостью основания?

Геометрия 11 класс Правильные четырехугольные пирамиды угол боковое ребро правильная четырехугольная пирамида плоскость основания геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти угол между боковым ребром правильной четырехугольной пирамиды и плоскостью основания, давайте рассмотрим свойства этой пирамиды и проведем необходимые вычисления.

Шаг 1: Определение элементов пирамиды

• Правильная четырехугольная пирамида состоит из основания в форме квадрата ABCD и вершины S.
• Все рёбра пирамиды равны, то есть SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA.
• Обозначим длину ребра как a.

Шаг 2: Найдем координаты вершин

• Пусть основание ABCD находится в плоскости XY, тогда можно задать следующие координаты:
  • A(0, 0, 0)
  • B(a, 0, 0)
  • C(a, a, 0)
  • D(0, a, 0)
• Вершина S будет находиться над центром квадрата ABCD. Центр квадрата имеет координаты ((0 + a)/2, (0 + a)/2, 0) = (a/2, a/2, 0). Поскольку все рёбра равны, высота пирамиды (SH) будет равна a/√2 (это можно найти, используя теорему Пифагора).
• Таким образом, координаты вершины S будут (a/2, a/2, h), где h = a/√2.

Шаг 3: Найдем угол между боковым ребром и плоскостью основания

• Угол между боковым ребром (например, SA) и плоскостью основания можно найти, используя векторное произведение.
• Вектор SA = (a/2 - 0, a/2 - 0, h - 0) = (a/2, a/2, a/√2).
• Плоскость основания задана вектором нормали, который будет равен (0, 0, 1), так как основание лежит в плоскости XY.

Шаг 4: Используем формулу для нахождения угла

• Угол θ между вектором и нормалью можно найти с помощью формулы: cos(θ) = |n * v| / (|n| * |v|), где n - вектор нормали, v - вектор бокового ребра.
• В нашем случае |n| = 1, поскольку нормаль (0, 0, 1) имеет длину 1.
• Длина вектора SA: |v| = √((a/2)² + (a/2)² + (a/√2)²) = √(a²/4 + a²/4 + a²/2) = √(a²/4 + a²/4 + 2a²/4) = √(a²) = a.
• Теперь найдем скалярное произведение: n * v = (0, 0, 1) * (a/2, a/2, a/√2) = 0 + 0 + a/√2 = a/√2.

Шаг 5: Подставляем значения в формулу

• cos(θ) = (a/√2) / (1 * a) = 1/√2.
• Следовательно, θ = arccos(1/√2) = 45°.

Ответ: Угол между боковым ребром правильной четырехугольной пирамиды и плоскостью основания равен 45 градусов.