Какова высота правильной четырехугольной пирамиды, если площадь диагонального сечения равна 36 см2, а боковое ребро образует угол 45 градусов с основанием?

Геометрия 11 класс Правильные четырехугольные пирамиды высота правильной четырехугольной пирамиды площадь диагонального сечения боковое ребро угол 45 градусов геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти высоту правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно использовать информацию о площади диагонального сечения и угле между боковым ребром и основанием.

Давайте разберем шаги решения:

1. Определим форму диагонального сечения: В правильной четырехугольной пирамиде диагональное сечение, проведенное через вершину и две противоположные вершины основания, будет треугольником.
2. Площадь диагонального сечения: Площадь треугольника равна 36 см². Мы можем использовать формулу для площади треугольника:
   • Площадь = (1/2) * основание * высота
3. Определим высоту сечения: В нашем случае основание треугольника будет равно стороне основания пирамиды, а высота - это высота сечения от вершины пирамиды до основания. Обозначим высоту как h.
4. Используем угол между боковым ребром и основанием: Угол 45 градусов между боковым ребром и основанием говорит нам о том, что высота h и половина стороны основания (обозначим ее как a/2) образуют равнобедренный прямоугольный треугольник:
   • h = (a/2) * tan(45°)
   • tan(45°) = 1, значит h = a/2.
5. Подставим значение высоты в формулу площади: Площадь диагонального сечения равна 36 см², и мы можем записать:
   • 36 = (1/2) * a * h
   • 36 = (1/2) * a * (a/2)
6. Решим уравнение: Умножим обе стороны на 2:
   • 72 = a² / 2
7. Умножим обе стороны на 2: 144 = a²
8. Находим сторону основания: a = sqrt(144) = 12 см.
9. Теперь найдем высоту: h = a/2 = 12/2 = 6 см.

Ответ: Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см.