Как можно вычислить объем конуса, если высота составляет 12 см, а периметр осевого сечения равен 36 см?

Геометрия 11 класс Объём конуса объем конуса высота конуса 12 см периметр осевого сечения вычисление объёма геометрия 11 класс Новый

Чтобы вычислить объем конуса, нам нужно знать радиус основания и высоту. В данном случае высота конуса уже известна и составляет 12 см. Периметр осевого сечения конуса равен 36 см. Давайте разберем, как можно использовать эту информацию для нахождения радиуса основания.

Осевое сечение конуса представляет собой треугольник, в котором одна из сторон - это радиус основания, а другая сторона - это высота конуса. Периметр осевого сечения можно выразить как сумму всех сторон треугольника:

• Радиус основания (r)
• Высота (h = 12 см)
• Генераторная (l) - это наклонная сторона конуса, которую мы можем найти с помощью теоремы Пифагора.

Формула для периметра осевого сечения:

Периметр = r + h + l

Подставим известные значения:

36 = r + 12 + l

Теперь выразим l:

l = 36 - r - 12

l = 24 - r

Теперь используем теорему Пифагора для нахождения l:

l = sqrt(r^2 + h^2)

Подставим h:

l = sqrt(r^2 + 12^2)

l = sqrt(r^2 + 144)

Теперь у нас есть два выражения для l:

1) l = 24 - r

2) l = sqrt(r^2 + 144)

Приравняем их:

24 - r = sqrt(r^2 + 144)

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

(24 - r)^2 = r^2 + 144

Раскроем скобки:

576 - 48r + r^2 = r^2 + 144

Упростим уравнение, убрав r^2 с обеих сторон:

576 - 48r = 144

Переносим 144 на левую сторону:

576 - 144 = 48r

432 = 48r

Теперь найдем r:

r = 432 / 48 = 9 см

Теперь у нас есть радиус основания (r = 9 см) и высота (h = 12 см). Теперь можем вычислить объем конуса. Объем V конуса вычисляется по формуле:

V = (1/3) * π * r^2 * h

Подставим известные значения:

V = (1/3) * π * (9^2) * 12

V = (1/3) * π * 81 * 12

V = (1/3) * π * 972

V = 324π см³

Таким образом, объем конуса составляет 324π см³, что примерно равно 1017,88 см³, если подставить значение π ≈ 3,14.