Чтобы найти площадь поверхности правильного конуса, описанного около шара радиуса R, нам нужно рассмотреть несколько шагов. Правильный конус, описанный около шара, имеет определенные геометрические свойства, которые мы будем использовать.

1. Определение параметров конуса:
   • Радиус основания конуса обозначим как r.
   • Высота конуса обозначим как h.
   • Генератор (наклонная сторона) конуса обозначим как l.
2. Связь между радиусом шара и конусом:
   • Шар радиуса R вписан в конус, значит, высота конуса h равна R + r.
   • Из геометрии известно, что радиус основания конуса r и высота h связаны через теорему Пифагора: l = √(r² + h²).
3. Нахождение площади поверхности конуса:
   • Площадь поверхности конуса S состоит из площади основания и боковой поверхности:
   • S = πr² + πrl, где πr² - площадь основания, а πrl - площадь боковой поверхности.
4. Вычисление:
   • Теперь подставим h и l в формулы. Мы знаем, что h = R + r и l = √(r² + (R + r)²).
   • Подставив l в формулу площади S, получаем:
   • S = πr² + πr√(r² + (R + r)²).
   • Теперь можно упростить выражение, но это может быть достаточно сложным, в зависимости от того, что именно вы хотите получить.

Таким образом, площадь поверхности правильного конуса, описанного около шара радиуса R, можно выразить через r и R, как показано выше. Для более точного ответа необходимо знать конкретное значение радиуса основания r или использовать дополнительные условия задачи.