Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор радиуса 6 см и дугой 120 градусов. Как можно найти площадь поверхности конуса?

Геометрия 11 класс Площадь поверхности конуса площадь поверхности конуса развертка конуса боковая поверхность конуса круговой сектор радиус 6 см дуга 120 градусов геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти площадь поверхности конуса, нам нужно рассмотреть две его части: боковую поверхность и основание. В данном случае у нас есть информация только о боковой поверхности, которая представлена в виде кругового сектора. Давайте разберем шаги решения.

Шаг 1: Найдем высоту и радиус основания конуса

Сначала нам нужно выяснить радиус основания конуса и его высоту. Известно, что радиус сектора равен образующей конуса, а дуга сектора соответствует окружности основания конуса.

Радиус сектора (образующая конуса) равен 6 см. Дуга сектора равна 120 градусов. Для нахождения длины дуги используем формулу:

Длина дуги = (угол в градусах / 360) * 2 * π * радиус

В нашем случае:

Длина дуги = (120 / 360) * 2 * π * 6 = (1/3) * 12π = 4π см.

Эта длина дуги равна окружности основания конуса, которая вычисляется по формуле:

Окружность = 2 * π * r, где r - радиус основания конуса.

Таким образом, у нас есть уравнение:

2 * π * r = 4π.

Сокращаем обе стороны на 2π:

r = 2 см.

Шаг 2: Найдем высоту конуса

Теперь, когда мы знаем радиус основания (r = 2 см) и образующую (l = 6 см), можем найти высоту конуса (h) с помощью теоремы Пифагора:

l² = r² + h².

Подставим известные значения:

6² = 2² + h².

36 = 4 + h².

h² = 36 - 4 = 32.

h = √32 = 4√2 см.

Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

Площадь боковой поверхности = π * r * l.

Подставим значения:

Площадь боковой поверхности = π * 2 * 6 = 12π см².

Шаг 4: Найдем площадь основания конуса

Площадь основания конуса вычисляется по формуле:

Площадь основания = π * r².

Подставим значение радиуса:

Площадь основания = π * 2² = 4π см².

Шаг 5: Найдем полную площадь поверхности конуса

Полная площадь поверхности конуса равна сумме площади боковой поверхности и площади основания:

Полная площадь = Площадь боковой поверхности + Площадь основания.

Полная площадь = 12π + 4π = 16π см².

Таким образом, полная площадь поверхности конуса составляет:

16π см².