Какова высота цилиндра, если известно, что высота составляет половину диаметра его основания, а площадь полной поверхности равна 144π см^2?

Геометрия 11 класс Площадь поверхности цилиндра высота цилиндра диаметр основания площадь полной поверхности задача по геометрии цилиндр в геометрии решение задачи формулы цилиндра Новый

Для решения задачи начнем с определения необходимых параметров цилиндра. Как известно, цилиндр состоит из двух круговых оснований и боковой поверхности.

Пусть:

• d - диаметр основания цилиндра.
• h - высота цилиндра.
• r - радиус основания цилиндра, который равен d/2.

По условию, высота цилиндра составляет половину диаметра его основания:

h = d / 2

Площадь полной поверхности цилиндра (S) рассчитывается по формуле:

S = 2πr² + 2πrh

Где:

• 2πr² - площадь двух оснований цилиндра,
• 2πrh - площадь боковой поверхности цилиндра.

Теперь подставим радиус r в формулу:

r = d / 2

Подставим r и h в формулу площади полной поверхности:

S = 2π(d/2)² + 2π(d/2)(d/2)

Упростим выражение:

1. Площадь оснований: 2π(d/2)² = 2π(d²/4) = (πd²)/2
2. Площадь боковой поверхности: 2π(d/2)(d/2) = 2π(d²/4) = (πd²)/2

Теперь сложим обе части:

S = (πd²)/2 + (πd²)/2 = πd²

По условию задачи, площадь полной поверхности равна 144π см²:

πd² = 144π

Теперь можем избавиться от π, разделив обе стороны уравнения на π:

d² = 144

Извлечем квадратный корень из обеих сторон:

d = 12 см

Теперь найдем высоту цилиндра, используя найденный диаметр:

h = d / 2 = 12 / 2 = 6 см

Таким образом, высота цилиндра составляет 6 см.