Какой угол образуют векторы a и b, если известны их длины и дополнительные условия: |a|=4, |2a-5b|=17, а также скалярное произведение (3a+2b)(2a-3b)=42?

Геометрия 11 класс Скалярное произведение векторов угол векторов длины векторов скалярное произведение геометрия 11 класс векторы a и b условия задачи решение задачи угол между векторами Новый

Чтобы найти угол между векторами a и b, нам нужно использовать данные, которые у нас есть: длины векторов, модуль вектора (2a - 5b) и скалярное произведение (3a + 2b)(2a - 3b).

Шаг 1: Найдем длину вектора b.

Из условия, что |a| = 4, мы можем записать:

|2a - 5b| = 17.

Подставим |a|:

• |2a| = 2 * |a| = 2 * 4 = 8.

Таким образом, имеем:

|2a - 5b| = |8 - 5b| = 17.

Теперь возведем в квадрат обе стороны:

(8 - 5|b|)^2 = 17^2 = 289.

Решим это уравнение:

• 8 - 5|b| = 17 или 8 - 5|b| = -17.

Первый случай:

• 8 - 5|b| = 17
• -5|b| = 17 - 8
• -5|b| = 9
• |b| = -9/5 (не подходит, так как длина не может быть отрицательной).

Второй случай:

• 8 - 5|b| = -17
• -5|b| = -17 - 8
• -5|b| = -25
• |b| = 5.

Шаг 2: Используем скалярное произведение.

Теперь мы знаем, что |a| = 4 и |b| = 5. Подставим это в скалярное произведение:

(3a + 2b)(2a - 3b) = 42.

Раскроем скобки:

(3a)(2a) + (3a)(-3b) + (2b)(2a) + (2b)(-3b) = 42.

Это дает:

• 6|a|^2 - 9(a, b) + 4(a, b) - 6|b|^2 = 42.

Подставим известные значения:

• 6(4^2) - 9(a, b) + 4(a, b) - 6(5^2) = 42.
• 6(16) - 9(a, b) + 4(a, b) - 6(25) = 42.
• 96 - 9(a, b) + 4(a, b) - 150 = 42.
• -9(a, b) + 4(a, b) - 54 = 42.
• -5(a, b) = 96.
• (a, b) = -96/5.

Шаг 3: Найдем угол между векторами a и b.

Скалярное произведение векторов a и b также можно выразить через угол θ между ними:

(a, b) = |a| * |b| * cos(θ).

Подставим известные значения:

• -96/5 = 4 * 5 * cos(θ).
• -96/5 = 20 * cos(θ).
• cos(θ) = -96/(5 * 20) = -96/100 = -0.96.

Теперь найдем угол θ:

• θ = arccos(-0.96).

Это значение можно найти с помощью калькулятора. Угол будет равен примерно 168.5 градусам.

Ответ: Угол между векторами a и b примерно равен 168.5 градусам.