Помогите, пожалуйста. Если образующая конуса равна 30 см и образует с плоскостью основания угол 30 градусов, как можно найти объем этого конуса?

Геометрия 11 класс Объём конуса объем конуса образующая конуса угол с плоскостью основания формула объема конуса геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти объем конуса, нам нужно знать радиус основания и высоту конуса. Давайте разберем, как это сделать, зная образующую и угол.

1. **Определение данных**: У нас есть образующая конуса, которая равна 30 см, и угол между образующей и плоскостью основания, равный 30 градусов.

2. **Нахождение высоты конуса**: Мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты. Образующая, высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• Образующая - это гипотенуза (30 см).
• Высота - это противолежащая сторона.
• Радиус - это прилежащая сторона.

По определению синуса в прямоугольном треугольнике:

sin(угол) = противолежащая сторона / гипотенуза

Подставим наши значения:

sin(30 градусов) = высота / 30 см

Зная, что sin(30 градусов) = 0.5, мы можем записать:

0.5 = высота / 30

Теперь решим уравнение для высоты:

высота = 0.5 * 30 = 15 см

3. **Нахождение радиуса основания**: Теперь найдем радиус основания, используя косинус:

cos(угол) = прилежащая сторона / гипотенуза

Подставим значения:

cos(30 градусов) = радиус / 30 см

Зная, что cos(30 градусов) = sqrt(3)/2, мы можем записать:

sqrt(3)/2 = радиус / 30

Теперь решим уравнение для радиуса:

радиус = (sqrt(3)/2) * 30 = 15 * sqrt(3) см

4. **Нахождение объема конуса**: Теперь, когда у нас есть высота и радиус, мы можем найти объем конуса по формуле:

V = (1/3) * π * r^2 * h

Подставим найденные значения:

V = (1/3) * π * (15 * sqrt(3))^2 * 15

Теперь посчитаем:

(15 * sqrt(3))^2 = 225 * 3 = 675

Таким образом, объем будет:

V = (1/3) * π * 675 * 15

V = (1/3) * π * 10125

V = 3375π см³

5. **Ответ**: Объем конуса равен 3375π см³.