В конус вписана правильная четырехугольная пирамида. Сторона основания пирамиды составляет 2sqrt(2) см, а высота пирамиды равна 3 см. Как можно вычислить объем конуса?

Геометрия 11 класс Объем тела вращения объем конуса правильная четырехугольная пирамида высота пирамиды сторона основания геометрия 11 класс Новый

Для того чтобы найти объем конуса, в который вписана правильная четырехугольная пирамида, нам нужно сначала найти объем самой пирамиды, а затем использовать его для вычисления объема конуса.

Шаг 1: Найдем объем пирамиды.

Формула для объема пирамиды выглядит следующим образом:

V = (1/3) * S * h,

где V - объем, S - площадь основания, h - высота.

В нашем случае основание пирамиды является квадратом, так как это правильная четырехугольная пирамида. Сторона основания равна 2√2 см.

Шаг 2: Найдем площадь основания пирамиды.

Площадь квадрата вычисляется по формуле:

S = a^2,

где a - длина стороны квадрата.

Подставим значение:

• a = 2√2 см.
• S = (2√2)² = 4 * 2 = 8 см².

Шаг 3: Подставим значения в формулу для объема пирамиды.

• h = 3 см (высота пирамиды),
• S = 8 см² (площадь основания).

Теперь подставим эти значения в формулу:

V = (1/3) * 8 * 3 = 8 см³.

Шаг 4: Найдем объем конуса.

Поскольку пирамида вписана в конус, то высота конуса будет равна высоте пирамиды (3 см), а радиус основания конуса будет равен половине диагонали основания пирамиды.

Шаг 5: Найдем радиус основания конуса.

Диагональ квадрата вычисляется по формуле:

d = a√2,

где a - сторона квадрата.

Подставим значение:

• d = 2√2 * √2 = 2 * 2 = 4 см.

Радиус основания конуса будет равен половине диагонали:

R = d/2 = 4/2 = 2 см.

Шаг 6: Подставим значения в формулу для объема конуса.

Формула для объема конуса выглядит так:

V = (1/3) * π * R² * h.

Подставим найденные значения:

• R = 2 см,
• h = 3 см.

V = (1/3) * π * (2)² * 3 = (1/3) * π * 4 * 3 = (1/3) * 12π = 4π см³.

Ответ: Объем конуса составляет 4π см³.