Похожие вопросы
2025-09-18 18:31:58
Вариант 1
- Как вычислить площадь треугольника ABC, если известны координаты его вершин A(1, 2, 0), B(3, 0, 3) и C(5, 2, 6)?
- Как вычислить площадь параллелограмма ABCD, если известны координаты его вершин?
Геометрия 11 класс Векторы и координаты в пространстве площадь треугольника координаты вершин геометрия 11 класс вычисление площади треугольник ABC параллелограмм ABCD задачи по геометрии формулы площади координатная плоскость геометрические фигуры
2025-09-18 18:32:14
Чтобы вычислить площадь треугольника ABC, заданного координатами его вершин A(1, 2, 0), B(3, 0, 3) и C(5, 2, 6), мы можем воспользоваться формулой, основанной на определителе. Площадь треугольника с вершинами в пространстве можно найти по следующей формуле:
Площадь = 1/2 * |AB × AC|
Где AB и AC - векторы, образованные из координат вершин. Давайте сначала найдем векторы AB и AC:
- Вектор AB = B - A = (3 - 1, 0 - 2, 3 - 0) = (2, -2, 3)
- Вектор AC = C - A = (5 - 1, 2 - 2, 6 - 0) = (4, 0, 6)
Теперь найдем векторное произведение AB и AC:
AB × AC = |i j k|
|2 -2 3|
|4 0 6|
Вычислим определитель:
- i( -2*6 - 0*3) = -12i
- - j( 2*6 - 3*4) = -12j
- k( 2*0 - (-2)*4) = 8k
Таким образом, векторное произведение AB × AC = (-12, 12, 8).
Теперь найдем его длину:
|AB × AC| = √((-12)² + 12² + 8²) = √(144 + 144 + 64) = √352 = 4√22.
Теперь подставим это значение в формулу для площади треугольника:
Площадь = 1/2 * |AB × AC| = 1/2 * 4√22 = 2√22.
Теперь перейдем к вычислению площади параллелограмма ABCD. Параллелограмм можно представить как два треугольника, поэтому его площадь также можно найти с помощью векторного произведения.
Площадь параллелограмма ABCD равна:
Площадь = |AB × AC|
Мы уже нашли |AB × AC|, поэтому просто подставим это значение:
Площадь параллелограмма = |AB × AC| = 4√22.
Таким образом, мы нашли площади треугольника и параллелограмма:
- Площадь треугольника ABC = 2√22.
- Площадь параллелограмма ABCD = 4√22.