Как можно доказать, что медиана, проведенная к любой стороне треугольника, меньше полусуммы двух других сторон?

Геометрия 7 класс Медианы треугольника медиана треугольника доказательство медианы свойства треугольника полусумма сторон геометрия 7 класс Новый

Давайте разберем, как можно доказать, что медиана, проведенная к любой стороне треугольника, меньше полусуммы двух других сторон. Для этого нам понадобятся некоторые определения и свойства треугольников.

Определение медианы: Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Рассмотрим треугольник ABC, где:

• A, B, C — вершины треугольника;
• a — сторона BC;
• b — сторона AC;
• c — сторона AB;
• M — середина стороны BC (то есть медиана AM).

Нам нужно доказать, что длина медианы AM меньше полусуммы сторон b и c, то есть:

AM < (b + c) / 2.

Для начала воспользуемся неравенством треугольника, которое гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Применим это неравенство к треугольнику ABM:

1. Согласно неравенству треугольника, имеем: AB + AM > BM.
2. Также, так как M — середина стороны BC, то BM = MC = a/2.
3. Теперь подставим BM в неравенство: AB + AM > a/2.

Теперь мы можем выразить AM:

1. AM > a/2 - AB.
2. Так как AB = c, то AM > a/2 - c.

Теперь рассмотрим неравенство для треугольника ACM:

1. AC + AM > CM.
2. Поскольку CM также равно a/2, то AC + AM > a/2.
3. Здесь AC = b, следовательно, b + AM > a/2.

Теперь мы имеем два неравенства:

• AM < (b + c) / 2;
• AM < (a + b + c) / 2 - a/2 = (b + c) / 2.

Таким образом, мы пришли к выводу, что медиана AM меньше полусуммы сторон b и c. Это и требовалось доказать.

Если у вас остались вопросы по этому доказательству или по другим темам геометрии, не стесняйтесь задавать их!