Давайте рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, где AB || CD и стороны AD и BC равны. Мы будем доказывать два утверждения: равенство диагоналей и равенство углов при основании.

1. Доказательство равенства диагоналей:

Для начала обозначим диагонали нашей трапеции. Пусть AC и BD – диагонали. Мы будем использовать треугольники для доказательства их равенства.

1. Рассмотрим треугольники ABC и ABD.
2. В этих треугольниках:
• Стороны AB и CD параллельны, следовательно, углы при основании равны: угол A = угол D и угол B = угол C.
• Стороны AD и BC равны по условию задачи (это равнобедренная трапеция).
• Сторона AB общая для обоих треугольников.
3. Таким образом, по признаку равенства треугольников по двум углам и стороне (УСУ) треугольники ABC и ABD равны.
4. Следовательно, их соответствующие стороны равны, а значит, AC = BD.

2. Доказательство равенства углов при основании:

Теперь докажем, что углы при основании равны. Рассмотрим углы A и B.

1. Снова обратимся к треугольникам ABC и ABD, которые мы уже доказали равными.
2. Из равенства треугольников следует, что углы A и B равны, так как они соответствуют углам при основании равнобедренной трапеции.
3. Таким образом, угол A = угол B.

Теперь давайте рассмотрим углы C и D. Поскольку AB || CD и углы A и B равны, то по свойству параллельных линий:

1. Угол C = угол A и угол D = угол B.
2. Следовательно, угол C = угол D.

Вывод: Мы доказали, что в равнобедренной трапеции равны как диагонали, так и углы при основании.