Как можно определить длины сторон прямоугольника, если известно, что один из катетов меньше гипотенузы на 1 см, а другой катет меньше гипотенузы на 2 см?

Геометрия 7 класс Пифагорова теорема длина сторон прямоугольника катеты и гипотенуза геометрия 7 класс задачи на геометрию определение сторон прямоугольника Новый

Для решения этой задачи давайте обозначим длины катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника:

• Обозначим гипотенузу через c.
• Обозначим первый катет, который меньше гипотенузы на 1 см, через a: a = c - 1.
• Обозначим второй катет, который меньше гипотенузы на 2 см, через b: b = c - 2.

Теперь у нас есть выражения для катетов:

• a = c - 1
• b = c - 2

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

a² + b² = c²

Теперь подставим выражения для a и b в это уравнение:

(c - 1)² + (c - 2)² = c²

Раскроем скобки:

(c² - 2c + 1) + (c² - 4c + 4) = c²

Сложим подобные члены:

2c² - 6c + 5 = c²

Теперь перенесем все в одну сторону уравнения:

2c² - 6c + 5 - c² = 0

Это упростится до:

c² - 6c + 5 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac, где a = 1, b = -6, c = 5:

D = (-6)² - 4 1 5 = 36 - 20 = 16

Теперь находим корни уравнения:

c = (6 ± √16) / 2

Это даст нам два значения:

c₁ = (6 + 4) / 2 = 5 и c₂ = (6 - 4) / 2 = 1.

Поскольку гипотенуза не может быть меньше длины катетов, оставляем только c = 5.

Теперь подставим значение гипотенузы обратно, чтобы найти катеты:

• a = c - 1 = 5 - 1 = 4 см
• b = c - 2 = 5 - 2 = 3 см

Итак, длины сторон прямоугольника (катетов) равны:

• Первый катет: 4 см
• Второй катет: 3 см

Таким образом, мы нашли длины сторон прямоугольного треугольника!