В треугольнике ABC медиана СМ в 2 раза короче стороны АВ. Какое значение имеет число р, если известны координаты точек A(—6;—3), M(3;—1) и C(р; 6)?

Геометрия 7 класс Медианы треугольника медиана треугольника длина медианы координаты точек треугольник ABC задача по геометрии значение числа р свойства медианы геометрические координаты Новый

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства медианы и координатные формулы. Мы знаем, что медиана делит сторону на две равные части, и в данном случае медиана CM в 2 раза короче стороны AB.

Давайте обозначим длину стороны AB как L. Тогда длина медианы CM будет равна L/2.

Теперь найдем длину отрезка CM. Мы знаем координаты точек C и M:

• C(р; 6)
• M(3; -1)

Длина отрезка CM вычисляется по формуле:

CM = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²),

где (x1, y1) - координаты точки C, а (x2, y2) - координаты точки M.

Подставляем координаты:

CM = √((3 - р)² + (-1 - 6)²) = √((3 - р)² + (-7)²) = √((3 - р)² + 49).

Так как длина медианы CM в 2 раза короче стороны AB, мы можем записать:

CM = L/2.

Теперь нам нужно найти длину стороны AB. Для этого мы воспользуемся координатами точек A и B. У нас есть только координаты точки A(-6; -3) и координаты точки M(3; -1), но нам необходимо найти координаты точки B.

Сначала найдем координаты точки B. Так как M является серединой отрезка AB, то:

• xM = (xA + xB)/2,
• yM = (yA + yB)/2.

Подставляем известные значения:

• 3 = (-6 + xB)/2,
• -1 = (-3 + yB)/2.

Теперь решим эти уравнения:

1. 3 = (-6 + xB)/2:
• Умножим обе стороны на 2: 6 = -6 + xB.
• Добавим 6 к обеим сторонам: xB = 12.
2. -1 = (-3 + yB)/2:
• Умножим обе стороны на 2: -2 = -3 + yB.
• Добавим 3 к обеим сторонам: yB = 1.

Таким образом, координаты точки B равны B(12; 1).

Теперь мы можем найти длину стороны AB:

AB = √((xB - xA)² + (yB - yA)²) = √((12 - (-6))² + (1 - (-3))²) = √((12 + 6)² + (1 + 3)²) = √(18² + 4²) = √(324 + 16) = √340.

Теперь подставим значение длины AB в выражение для медианы:

CM = L/2 = √340/2.

Теперь приравняем длину медианы CM к выражению, которое мы нашли ранее:

√((3 - р)² + 49) = √340/2.

Квадратируем обе стороны уравнения:

(3 - р)² + 49 = (√340/2)².

(3 - р)² + 49 = 340/4 = 85.

Теперь решим уравнение:

(3 - р)² = 85 - 49 = 36.

Теперь извлечем корень из обеих сторон:

3 - р = ±6.

Решим оба случая:

• 1. 3 - р = 6 => р = 3 - 6 = -3;
• 2. 3 - р = -6 => р = 3 + 6 = 9.

Таким образом, возможные значения p равны -3 или 9.

Ответ: p = -3 или p = 9.