Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Как можно доказать, что четырёхугольник A1 B1 C1 D2, вершинами которого являются середины отрезков OА, OВ, OС и OD, является параллелограммом?

Геометрия 8 класс Свойства параллелограммов диагонали параллелограмма точки пересечения середины отрезков доказательство параллелограмма свойства параллелограмма Новый

Чтобы доказать, что четырёхугольник A1 B1 C1 D1, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD, является параллелограммом, мы воспользуемся свойствами параллелограмма и его диагоналей. Мы будем следовать следующим шагам:

1. Определим точки A1, B1, C1 и D1:
   • A1 - середина отрезка OA;
   • B1 - середина отрезка OB;
   • C1 - середина отрезка OC;
   • D1 - середина отрезка OD.
2. Покажем, что A1B1 || C1D1:
   • В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O и делят друг друга пополам. Это значит, что AO = OC и BO = OD.
   • Поскольку A1 и B1 - середины отрезков OA и OB соответственно, можно записать: A1B1 = 1/2 AB.
   • Аналогично, C1 и D1 - середины отрезков OC и OD, значит: C1D1 = 1/2 CD.
   • Так как AB || CD (по свойству параллелограмма), то A1B1 || C1D1.
3. Покажем, что A1D1 || B1C1:
   • Аналогично предыдущему шагу, A1D1 = 1/2 AD и B1C1 = 1/2 BC.
   • Поскольку AD || BC (по свойству параллелограмма), то A1D1 || B1C1.
4. Сделаем вывод:
   • Мы доказали, что A1B1 || C1D1 и A1D1 || B1C1.
   • По определению, если в четырёхугольнике две пары противоположных сторон равны и параллельны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что четырёхугольник A1B1C1D1 является параллелограммом.