Из центра окружности О к хорде АВ проведен перпендикуляр ОС. Какова длина хорды АВ, если длина ОС равна 6 см, а угол ОВА составляет 45 градусов?

Геометрия 8 класс Длина хорды окружности длина хорды АВ перпендикуляр к хорде угол ОВА геометрия 8 класс задача на окружность Новый

Для решения задачи нам нужно использовать свойства окружности и треугольников. Давайте разберем шаги решения:

1. Определим, что известно:
   • Длина перпендикуляра ОС = 6 см.
   • Угол ОВА = 45 градусов.
2. Сделаем некоторые выводы:
   • Перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит хорду пополам. Таким образом, если обозначить точку пересечения перпендикуляра и хорды как М, то AM = MB.
   • Угол ОВА = 45 градусов означает, что треугольник ОВА является прямоугольным, где OA - это радиус окружности, а угол OVA - это угол между радиусом и хордой.
3. Используем тригонометрию:
   • В треугольнике OMA, где OM = 6 см (это высота), угол OMA = 45 градусов, мы можем использовать соотношение в прямоугольном треугольнике.
   • Так как угол OMA равен 45 градусов, то OA (радиус) и AM (половина хорды) равны, то есть OA = AM.
   • Используем теорему Пифагора: OA^2 = OM^2 + AM^2.
   • Подставляем известные значения: OA^2 = 6^2 + AM^2, то есть OA^2 = 36 + AM^2.
   • Поскольку OA = AM, то можем записать: AM^2 = 36 + AM^2. Это уравнение не дает нам дополнительной информации, поэтому мы можем использовать свойства углов.
4. Находим длину хорд:
   • Используем свойства углов: так как угол OVA = 45 градусов, то в треугольнике OMA, где OM = 6 см, AM = OA.
   • Поскольку OA = AM, мы можем записать: AM = OM * tan(45°) = 6 см * 1 = 6 см.
   • Таким образом, AM = 6 см.
5. Находим длину хорды AB:
   • Так как AM = MB и AM = 6 см, то длина хорды AB = AM + MB = 6 см + 6 см = 12 см.

Ответ: Длина хорды AB составляет 12 см.