Как можно доказать, что средняя линия трапеции делит каждую её диагональ пополам?

Геометрия 8 класс Средняя линия трапеции средняя линия трапеции доказательство диагонали трапеции свойства трапеции геометрия 8 класс Новый

Чтобы доказать, что средняя линия трапеции делит каждую её диагональ пополам, давайте рассмотрим трапецию ABCD, где AB || CD. Обозначим среднюю линию как MN, где M и N - середины сторон AD и BC соответственно.

Шаг 1: Определим длину средней линии.

• Средняя линия трапеции MN равна полусумме оснований: MN = (AB + CD) / 2.

Шаг 2: Рассмотрим диагонали.

• Диагонали трапеции - это отрезки AC и BD.

Шаг 3: Обозначим точки пересечения.

• Обозначим точку пересечения диагоналей AC и BD как O.

Шаг 4: Используем подобие треугольников.

• Рассмотрим треугольники AMO и CNO.
• В этих треугольниках угол AMO равен углу CNO (так как они являются накрест лежащими углами).
• Также угол AOM равен углу CON (так как это вертикальные углы).
• Таким образом, треугольники AMO и CNO подобны по углам.

Шаг 5: Применим свойства подобных треугольников.

• Из подобия треугольников AMO и CNO следует, что отношение сторон AM и CN равно отношению AO и CO.
• Так как MN - это средняя линия, то AM = CN.

Шаг 6: Доказательство деления диагоналей.

• Из подобия треугольников также следует, что AO = CO и BO = DO.
• Таким образом, точка O делит каждую из диагоналей AC и BD пополам.

Заключение:

Мы доказали, что средняя линия трапеции действительно делит каждую её диагональ пополам, используя свойства подобных треугольников и свойства средних линий. Это свойство является важным в геометрии и может быть полезно для решения других задач.