Как можно найти острые углы прямоугольного треугольника, если известны его гипотенуза, равная 16, и площадь, равная 32√3?

Геометрия 8 класс Прямоугольные треугольники острые углы прямоугольный треугольник гипотенуза 16 площадь 32√3 нахождение углов свойства треугольника геометрия 8 класс Новый

Для нахождения острых углов прямоугольного треугольника, когда известны гипотенуза и площадь, можно воспользоваться следующими шагами:

Шаг 1: Запишем формулы

• Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через его катеты: Площадь = (a * b) / 2, где a и b - длины катетов.
• По теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется равенство: a² + b² = c², где c - длина гипотенузы.

Шаг 2: Подставим известные значения

В нашем случае гипотенуза c равна 16, а площадь равна 32√3. Подставим эти значения в формулы:

• Площадь: (a * b) / 2 = 32√3
  Отсюда получаем: a * b = 64√3.
• По теореме Пифагора: a² + b² = 16² = 256.

Шаг 3: Составим систему уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• 1) a * b = 64√3
• 2) a² + b² = 256

Шаг 4: Выразим b через a

Из первого уравнения выразим b:

b = 64√3 / a

Шаг 5: Подставим b во второе уравнение

Теперь подставим b во второе уравнение:

• a² + (64√3 / a)² = 256
• a² + (64² * 3) / a² = 256
• a² + 12288 / a² = 256

Шаг 6: Умножим на a²

Умножим обе стороны на a², чтобы избавиться от дроби:

• a⁴ - 256a² + 12288 = 0

Шаг 7: Обозначим x = a²

Теперь у нас получается квадратное уравнение:

• x² - 256x + 12288 = 0

Шаг 8: Решим квадратное уравнение

Используем формулу для решения квадратного уравнения:

• x = [256 ± √(256² - 4 * 1 * 12288)] / 2 * 1
• x = [256 ± √(65536 - 49152)] / 2
• x = [256 ± √16384] / 2
• x = [256 ± 128] / 2

Шаг 9: Найдем значения x

• x₁ = (256 + 128) / 2 = 192
• x₂ = (256 - 128) / 2 = 64

Шаг 10: Найдем a и b

Поскольку x = a², получаем:

• a = √192 = 8√3
• b = √64 = 8

Шаг 11: Найдем углы

Теперь, чтобы найти острые углы, используем тригонометрические функции:

• Угол A: sin(A) = a / c = (8√3) / 16 = √3 / 2, откуда A = 60°.
• Угол B: sin(B) = b / c = 8 / 16 = 1/2, откуда B = 30°.

Таким образом, острые углы прямоугольного треугольника равны 60° и 30°.