Чтобы найти катеты прямоугольного треугольника, зная его площадь и сумму катетов, мы можем использовать следующие шаги:

1. Запишем известные данные:
   • Площадь треугольника (S) = 15 дм²
   • Сумма катетов (a + b) = 11 дм
2. Используем формулу для площади прямоугольного треугольника:

   Площадь треугольника равна половине произведения его катетов:

   S = (a * b) / 2

   Подставим известную площадь:

   15 = (a * b) / 2

   Умножим обе стороны на 2:

   30 = a * b

   Таким образом, мы получили уравнение:

   a * b = 30

3. Теперь у нас есть система уравнений:
   • 1) a + b = 11
   • 2) a * b = 30
4. Решим систему уравнений:

   Из первого уравнения выразим один из катетов через другой. Например, выразим b:

   b = 11 - a

   Теперь подставим это значение во второе уравнение:

   a * (11 - a) = 30

   Раскроем скобки:

   11a - a² = 30

   Перепишем уравнение в стандартной форме:

   a² - 11a + 30 = 0

5. Решим квадратное уравнение:

   Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

   a = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

   В нашем случае a = 1, b = -11, c = 30:

   Дискриминант (D) = (-11)² - 4 * 1 * 30 = 121 - 120 = 1

   Теперь подставим значения в формулу:

   a = (11 ± √1) / 2

   Корни будут:

   a1 = (11 + 1) / 2 = 6

   a2 = (11 - 1) / 2 = 5

6. Найдём катеты:

   Таким образом, у нас есть два значения для a:

   • Если a = 6, то b = 11 - 6 = 5
   • Если a = 5, то b = 11 - 5 = 6

   В итоге, катеты прямоугольного треугольника равны 5 дм и 6 дм.

Ответ: Катеты прямоугольного треугольника равны 5 дм и 6 дм.