Как найти стороны равнобедренного треугольника, если известна его площадь, равная 36√3 см², и угол при вершине равен 120 градусов?

Геометрия 8 класс Равнобедренный треугольник равнобедренный треугольник стороны площадь 36√3 см² угол 120 градусов геометрия 8 класс задачи по геометрии формулы вычисление сторон свойства треугольников Тригонометрия Новый

Давайте разберем задачу по нахождению сторон равнобедренного треугольника, зная его площадь и угол при вершине.

Итак, у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC, угол при вершине B равен 120 градусов, а площадь треугольника равна 36√3 см².

Сначала найдем углы в треугольнике. Если угол B равен 120 градусов, то углы A и C будут равны, так как треугольник равнобедренный. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, поэтому:

• угол A + угол C + угол B = 180 градусов
• угол A + угол C + 120 = 180
• угол A + угол C = 60

Так как углы A и C равны, мы можем записать:

• 2 * угол A = 60
• угол A = 30 градусов
• угол C = 30 градусов

Теперь мы знаем, что углы A и C равны 30 градусов, а угол B равен 120 градусов.

Далее, воспользуемся формулой для вычисления площади треугольника:

Площадь треугольника можно найти по формуле:

Площадь = 1/2 * основание * высота * sin(угол).

В нашем случае основание будет равняться AB (или AC), а угол будет 120 градусов. Подставим известные значения:

36√3 = 1/2 * AB * AB * sin(120 градусов).

Зная, что sin(120 градусов) = √3/2, подставим это значение в формулу:

36√3 = 1/2 * AB^2 * (√3/2).

Упрощаем уравнение:

36√3 = (√3/4) * AB^2.

Теперь умножим обе стороны на 4:

144√3 = √3 * AB^2.

Делим обе стороны на √3:

144 = AB^2.

Теперь находим AB:

AB = √144 = 12 см.

Так как у нас равнобедренный треугольник, то AC также равно 12 см.

Теперь найдем длину стороны BC. Для этого проведем высоту BH из вершины B на основание AC. Эта высота делит основание на две равные части, и мы можем рассмотреть треугольник ABH.

Так как угол A равен 30 градусам, мы знаем, что:

• BH = 1/2 * AB = 12/2 = 6 см.

Теперь найдем AH, используя теорему Пифагора:

AH = √(AB^2 - BH^2) = √(12^2 - 6^2) = √(144 - 36) = √108 = 6√3 см.

Теперь можем найти длину стороны BC:

BC = 2 * AH = 2 * 6√3 = 12√3 см.

Итак, мы нашли стороны треугольника:

• AB = AC = 12 см,
• BC = 12√3 см.

Таким образом, стороны равнобедренного треугольника ABC равны 12 см, 12 см и 12√3 см соответственно.