Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника, если сумма его катетов равна 7 см, а площадь этого треугольника составляет 6 см²?

Геометрия 8 класс Прямоугольные треугольники длина гипотенузы прямоугольный треугольник сумма катетов площадь треугольника задачи по геометрии Новый

Для решения задачи начнем с того, что обозначим катеты нашего прямоугольного треугольника как a и b. Из условия задачи мы знаем, что:

• Сумма катетов: a + b = 7 см
• Площадь треугольника: (a * b) / 2 = 6 см²

Теперь мы можем выразить b через a из первого уравнения:

b = 7 - a

Теперь подставим это выражение для b во второе уравнение (площадь):

(a * (7 - a)) / 2 = 6

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

a * (7 - a) = 12

Раскроем скобки:

7a - a² = 12

Перепишем уравнение в стандартной форме:

a² - 7a + 12 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:

D = b² - 4ac = (-7)² - 4 * 1 * 12 = 49 - 48 = 1

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня. Найдем их с помощью формулы корней квадратного уравнения:

a = (7 ± √D) / 2

Подставим значение дискриминанта:

a = (7 ± 1) / 2

Теперь найдем два значения для a:

1. a₁ = (7 + 1) / 2 = 8 / 2 = 4 см
2. a₂ = (7 - 1) / 2 = 6 / 2 = 3 см

Теперь подставим найденные значения a обратно в уравнение b = 7 - a:

1. Если a = 4 см, то b = 7 - 4 = 3 см.
2. Если a = 3 см, то b = 7 - 3 = 4 см.

Таким образом, катеты треугольника равны 3 см и 4 см.

Теперь найдем длину гипотенузы c с помощью теоремы Пифагора:

c = √(a² + b²)

Подставим значения катетов:

c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 см

Таким образом, длина гипотенузы нашего прямоугольного треугольника составляет 5 см.