Каковы длины катетов прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 37 см, а площадь составляет 210 см²?

Геометрия 8 класс Прямоугольные треугольники длина катетов прямоугольный треугольник гипотенуза площадь треугольника задачи по геометрии Новый

Чтобы найти длины катетов прямоугольного треугольника, нам нужно использовать формулы для площади и свойства прямоугольного треугольника. Давайте обозначим катеты как a и b, а гипотенузу как c. В нашем случае c = 37 см.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

Площадь = (a * b) / 2

Согласно условию, площадь нашего треугольника равна 210 см², значит:

(a * b) / 2 = 210

Умножим обе стороны уравнения на 2:

a * b = 420

Теперь у нас есть два уравнения:

1. a * b = 420
2. a² + b² = c², где c = 37 см, значит a² + b² = 37² = 1369

Теперь мы можем выразить b через a из первого уравнения:

b = 420 / a

Подставим это выражение для b во второе уравнение:

a² + (420 / a)² = 1369

Теперь упростим это уравнение:

a² + 420² / a² = 1369

Умножим все на a², чтобы избавиться от дроби:

a^4 - 1369a² + 420² = 0

Теперь подставим значение 420²:

420² = 176400

Таким образом, у нас получается следующее уравнение:

a^4 - 1369a² + 176400 = 0

Теперь сделаем замену переменной: пусть x = a². Тогда уравнение принимает вид:

x² - 1369x + 176400 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-1369)² - 4 1 176400

Вычислим D:

D = 1876561 - 705600 = 1160961

Теперь находим корни уравнения:

x = (1369 ± √1160961) / 2

Вычислим корни:

√1160961 = 1077

Теперь подставляем это значение:

x1 = (1369 + 1077) / 2 = 1233

x2 = (1369 - 1077) / 2 = 146

Теперь найдем a:

a1 = √1233 ≈ 35.1 см

a2 = √146 ≈ 12.1 см

Теперь найдем b, используя b = 420 / a:

b1 = 420 / 35.1 ≈ 11.9 см

b2 = 420 / 12.1 ≈ 34.6 см

Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника:

• Первый катет a ≈ 35.1 см и второй катет b ≈ 11.9 см
• или
• Первый катет a ≈ 12.1 см и второй катет b ≈ 34.6 см

Таким образом, катеты треугольника могут быть равны примерно 35.1 см и 11.9 см или 12.1 см и 34.6 см.