Чтобы найти длины катетов прямоугольного треугольника, нам нужно использовать формулы для площади и свойства прямоугольного треугольника. Давайте обозначим катеты как a и b, а гипотенузу как c. В нашем случае c = 37 см.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

Согласно условию, площадь нашего треугольника равна 210 см², значит:

Умножим обе стороны уравнения на 2:

Теперь у нас есть два уравнения:

1. a * b = 420
2. a² + b² = c², где c = 37 см, значит a² + b² = 37² = 1369

Теперь мы можем выразить b через a из первого уравнения:

Подставим это выражение для b во второе уравнение:

Теперь упростим это уравнение:

Умножим все на a², чтобы избавиться от дроби:

Теперь подставим значение 420²:

Таким образом, у нас получается следующее уравнение:

Теперь сделаем замену переменной: пусть x = a². Тогда уравнение принимает вид:

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

Вычислим D:

Теперь находим корни уравнения:

Вычислим корни:

Теперь подставляем это значение:

Теперь найдем a:

Теперь найдем b, используя b = 420 / a:

Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника:

• Первый катет a ≈ 35.1 см и второй катет b ≈ 11.9 см
• или
• Первый катет a ≈ 12.1 см и второй катет b ≈ 34.6 см

Таким образом, катеты треугольника могут быть равны примерно 35.1 см и 11.9 см или 12.1 см и 34.6 см.