Каковы длины катетов прямоугольного треугольника, если его периметр равен 90 см, а радиус вписанной окружности составляет 4 см?

Геометрия 8 класс Прямоугольные треугольники длина катетов прямоугольный треугольник периметр 90 см радиус вписанной окружности геометрия 8 класс Новый

Чтобы найти длины катетов прямоугольного треугольника, зная его периметр и радиус вписанной окружности, мы можем воспользоваться следующими формулами и шагами:

• Дано:
  • Периметр треугольника (P) = 90 см
  • Радиус вписанной окружности (r) = 4 см

В прямоугольном треугольнике периметр выражается как сумма длин всех сторон:

P = a + b + c, где a и b - катеты, c - гипотенуза.

Также радиус вписанной окружности можно выразить через катеты и полупериметр:

r = (a + b - c) / 2.

Полупериметр (s) равен половине периметра:

s = P / 2 = 90 / 2 = 45 см.

Теперь мы можем выразить радиус через катеты:

r = (a + b - c) / 2 = 4 см.

Умножим обе части на 2:

a + b - c = 8 см.

Теперь у нас есть две уравнения:

1. a + b + c = 90
2. a + b - c = 8

Теперь сложим эти два уравнения:

• (a + b + c) + (a + b - c) = 90 + 8
• 2(a + b) = 98
• a + b = 49 см.

Теперь мы можем найти c, подставив значение a + b в первое уравнение:

a + b + c = 90

49 + c = 90

c = 90 - 49 = 41 см.

Теперь у нас есть значения a + b и c:

• a + b = 49 см
• c = 41 см

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения катетов:

a^2 + b^2 = c^2.

Подставим значение c:

a^2 + b^2 = 41^2 = 1681.

Теперь у нас есть система уравнений:

1. a + b = 49
2. a^2 + b^2 = 1681

Из первого уравнения выразим b:

b = 49 - a.

Подставим b во второе уравнение:

a^2 + (49 - a)^2 = 1681.

Раскроем скобки:

a^2 + (2401 - 98a + a^2) = 1681.

2a^2 - 98a + 2401 - 1681 = 0.

2a^2 - 98a + 720 = 0.

Теперь упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 2:

a^2 - 49a + 360 = 0.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-49)^2 - 4 * 1 * 360 = 2401 - 1440 = 961.

Теперь находим корни уравнения:

a = (49 ± √961) / 2.

√961 = 31, поэтому:

a1 = (49 + 31) / 2 = 40 см,

a2 = (49 - 31) / 2 = 9 см.

Таким образом, у нас есть два возможных значения для катетов:

• a = 40 см, b = 9 см
• a = 9 см, b = 40 см

Итак, длины катетов прямоугольного треугольника равны 40 см и 9 см.