Каковы длины сторон прямоугольника, если сумма квадратов его сторон равна 208 см в квадрате, а площадь составляет 20 см в квадрате?

Геометрия 8 класс Системы уравнений длины сторон прямоугольника сумма квадратов сторон площадь прямоугольника задачи по геометрии решение геометрических задач Новый

Для решения этой задачи давайте обозначим стороны прямоугольника как a и b. У нас есть две важные информации:

• Сумма квадратов сторон: a² + b² = 208
• Площадь прямоугольника: a * b = 20

Теперь мы можем использовать эти два уравнения для нахождения значений a и b. Начнем с того, что из второго уравнения можно выразить одну сторону через другую. Например, выразим b:

b = 20 / a

Теперь подставим это выражение для b в первое уравнение:

a² + (20 / a)² = 208

Раскроем скобки:

a² + 400 / a² = 208

Теперь умножим все уравнение на a², чтобы избавиться от дроби:

a^4 - 208a² + 400 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно a². Обозначим x = a². Тогда уравнение примет вид:

x² - 208x + 400 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-208)² - 4 * 1 * 400

D = 43264 - 1600 = 41664

Теперь найдем корни уравнения:

x = (208 ± √41664) / 2

Вычислим √41664:

√41664 = 204

Теперь подставим это значение в формулу для нахождения x:

x1 = (208 + 204) / 2 = 206

x2 = (208 - 204) / 2 = 2

Теперь вернемся к переменной a²:

a² = 206 или a² = 2

Следовательно, a может быть равным:

a = √206 или a = √2

Теперь найдем соответствующее значение b для каждого случая:

1. Если a = √206, то:

b = 20 / √206

2. Если a = √2, то:

b = 20 / √2

Теперь мы можем подставить найденные значения a и b обратно в уравнения, чтобы проверить, что они удовлетворяют условиям задачи:

Таким образом, длины сторон прямоугольника могут быть:

• √206 см и 20 / √206 см
• √2 см и 20 / √2 см

Эти пары значений являются решениями для сторон прямоугольника, удовлетворяющими заданным условиям.