Каковы размеры сторон прямоугольника, если его периметр равен 14 см, а длина диагонали составляет 5 см?

Геометрия 8 класс Прямоугольники и их свойства прямоугольник размеры сторон периметр 14 см длина диагонали 5 см задачи по геометрии Новый

Чтобы найти размеры сторон прямоугольника, зная его периметр и длину диагонали, мы можем использовать несколько формул и уравнений. Давайте разберем шаги решения:

Шаг 1: Запишем известные формулы.

• Периметр прямоугольника P = 2(a + b), где a и b - длины сторон прямоугольника.
• Длина диагонали D = √(a² + b²).

Шаг 2: Подставим известные значения.

Из условия задачи мы знаем, что периметр P = 14 см и длина диагонали D = 5 см.

Шаг 3: Запишем уравнения.

• Из формулы периметра: 2(a + b) = 14. Это можно упростить до: a + b = 7.
• Из формулы диагонали: √(a² + b²) = 5. Возведем обе стороны в квадрат: a² + b² = 25.

Шаг 4: Выразим одну сторону через другую.

Из уравнения a + b = 7 можно выразить одну сторону через другую. Например, выразим b:

b = 7 - a.

Шаг 5: Подставим значение b в уравнение для диагонали.

Теперь подставим b в уравнение a² + b² = 25:

• a² + (7 - a)² = 25.

Шаг 6: Раскроем скобки и упростим уравнение.

• a² + (49 - 14a + a²) = 25.
• 2a² - 14a + 49 = 25.
• 2a² - 14a + 24 = 0.

Шаг 7: Разделим уравнение на 2 для упрощения.

• a² - 7a + 12 = 0.

Шаг 8: Найдем корни квадратного уравнения.

• Используем формулу для нахождения корней: a = (7 ± √(7² - 4*1*12)) / (2*1).
• Сначала найдем дискриминант: D = 7² - 4*1*12 = 49 - 48 = 1.
• Теперь подставим значения: a = (7 ± 1) / 2.

Шаг 9: Найдем два значения для a.

• a₁ = (7 + 1) / 2 = 4 см.
• a₂ = (7 - 1) / 2 = 3 см.

Шаг 10: Найдем соответствующие значения для b.

• Если a = 4 см, то b = 7 - 4 = 3 см.
• Если a = 3 см, то b = 7 - 3 = 4 см.

Итак, размеры сторон прямоугольника:

Стороны прямоугольника равны 4 см и 3 см.