Давайте по порядку разберем каждую задачу.

Задача 1: Найдите тангенс угла а, если косинус угла а равен 2√13/13.

Мы знаем, что тангенс угла выражается через синус и косинус следующим образом:

tan(a) = sin(a) / cos(a)

Сначала нужно найти синус угла а. Мы можем использовать основное тригонометрическое соотношение:

sin²(a) + cos²(a) = 1

Подставим известное значение косинуса:

1. cos²(a) = (2√13/13)² = 4 * 13 / 169 = 52 / 169
2. Теперь подставим в уравнение: sin²(a) + 52/169 = 1.
3. Следовательно, sin²(a) = 1 - 52/169 = 117/169.
4. Теперь найдем синус: sin(a) = √(117/169) = √117 / 13.

Теперь можем найти тангенс:

tan(a) = sin(a) / cos(a) = (√117 / 13) / (2√13 / 13) = √117 / (2√13) = √(117/4) = √(29.25).

Задача 2: Определите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если длины сторон равны: ВС = 10 см, АВ = 24 дм.

Сначала преобразуем все единицы измерения в сантиметры:

АВ = 24 дм = 240 см.

Теперь используем теорему Пифагора для нахождения длины стороны AC:

AB² = AC² + BC²

1. 240² = AC² + 10²
2. 57600 = AC² + 100
3. AC² = 57600 - 100 = 57500
4. AC = √57500 = 239.74 см (округленно).

Теперь можем найти синусы, косинусы и тангенсы углов A и B:

• Для угла A:
• sin(A) = BC / AB = 10 / 240 = 1/24.
• cos(A) = AC / AB = 239.74 / 240.
• tan(A) = BC / AC = 10 / 239.74.
• Для угла B:
• sin(B) = AC / AB = 239.74 / 240.
• cos(B) = BC / AB = 10 / 240 = 1/24.
• tan(B) = AC / BC = 239.74 / 10.

Задача 3: В прямоугольном треугольнике один катет равен 7 см, а косинус противоположного ему угла равен 0,8. Найдите гипотенузу, второй катет и площадь треугольника.

Обозначим известный катет как a = 7 см. Пусть гипотенуза равна c.

Косинус угла, противоположного катету a, равен:

cos(α) = b / c = 0.8

где b - это второй катет (который мы ищем). Из этого уравнения мы можем выразить гипотенузу:

c = b / 0.8.

Также по теореме Пифагора: a² + b² = c².

Подставим выражение для c:

1. 7² + b² = (b / 0.8)².
2. 49 + b² = b² / 0.64.
3. 49 = b² / 0.64 - b².
4. 49 = b²(1/0.64 - 1) = b²(1.5625 - 1) = b² * 0.5625.
5. b² = 49 / 0.5625 = 87.1111.
6. b = √87.1111 ≈ 9.32 см.

Теперь найдем гипотенузу:

c = b / 0.8 ≈ 9.32 / 0.8 ≈ 11.65 см.

Площадь треугольника:

S = (a * b) / 2 = (7 * 9.32) / 2 ≈ 32.54 см².

Задача 4: Найдите гипотенузу, синус и косинус острых углов прямоугольного треугольника, если его катеты равны 25 см и 30 см.

Обозначим катеты как a = 25 см и b = 30 см.

Для нахождения гипотенузы используем теорему Пифагора:

c = √(a² + b²) = √(25² + 30²) = √(625 + 900) = √1525 ≈ 39.05 см.

Теперь найдем синусы и косинусы острых углов:

• Угол A:
• sin(A) = b / c = 30 / 39.05 ≈ 0.766.
• cos(A) = a / c = 25 / 39.05 ≈ 0.641.
• Угол B:
• sin(B) = a / c = 25 / 39.05 ≈ 0.641.
• cos(B) = b / c = 30 / 39.05 ≈ 0.766.

Таким образом, мы разобрали все задачи и нашли необходимые значения.