Чтобы найти длину гипотенузы прямоугольного треугольника, нам нужно использовать данные о котангенсе и площади треугольника. Давайте разберем шаги решения этой задачи.

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины прилежащей стороны к длине противолежащей стороны. Обозначим:

• катет, прилежащий к углу, за a;
• катет, противолежащий углу, за b.

Тогда мы можем записать:

котангенс угла = a / b = 3.

Из этого следует, что:

a = 3b.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

Площадь = (1/2) * a * b.

Так как площадь равна 39 см², подставим это значение:

(1/2) * a * b = 39.

Подставим a = 3b:

(1/2) * (3b) * b = 39.

Упростим уравнение:

(3/2) * b^2 = 39.

Умножим обе стороны на 2:

3b^2 = 78.

Теперь разделим обе стороны на 3:

b^2 = 26.

Извлечем корень:

b = √26.

Теперь, зная b, можем найти a:

a = 3b = 3 * √26.

Теперь мы можем найти длину гипотенузы c. В прямоугольном треугольнике гипотенуза вычисляется по теореме Пифагора:

c = √(a^2 + b^2).

Подставим значения a и b:

c = √((3√26)^2 + (√26)^2).

Посчитаем:

• (3√26)^2 = 9 * 26 = 234;
• (√26)^2 = 26.

Теперь подставим в формулу:

c = √(234 + 26) = √260.

Мы можем упростить √260:

√260 = √(4 * 65) = 2√65.

Таким образом, длина гипотенузы прямоугольного треугольника составляет 2√65 см.