Какой периметр и площадь прямоугольного треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 2 см, а сумма катетов составляет 17 см?

Геометрия 8 класс Прямоугольные треугольники периметр прямоугольного треугольника площадь прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности сумма катетов треугольника задачи по геометрии геометрия 8 класс Новый

Чтобы найти периметр и площадь прямоугольного треугольника, нам нужно использовать несколько формул и свойства треугольников.

Дано:

• Радиус вписанной окружности (r) = 2 см
• Сумма катетов (a + b) = 17 см

Для начала вспомним, что площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности и полупериметр:

Площадь (S) = r * p, где p - полупериметр треугольника.

Полупериметр (p) равен половине периметра:

p = (a + b + c) / 2, где c - гипотенуза треугольника.

Так как у нас есть сумма катетов (a + b = 17 см), мы можем выразить полупериметр через катеты и гипотенузу:

p = (17 + c) / 2

Теперь подставим это в формулу площади:

S = r * p = 2 * (17 + c) / 2 = 17 + c

Однако, у нас нет значения гипотенузы c. Но мы можем использовать теорему Пифагора:

c = √(a² + b²)

Мы знаем, что:

a + b = 17

Пусть a = x, тогда b = 17 - x. Подставим это в теорему Пифагора:

c = √(x² + (17 - x)²)

Раскроем скобки:

c = √(x² + (289 - 34x + x²)) = √(2x² - 34x + 289)

Теперь подставим значение c в формулу для площади:

S = 17 + √(2x² - 34x + 289)

Но мы можем использовать еще одно свойство прямоугольного треугольника: радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу:

r = (a + b - c) / 2

Подставляем известные значения:

2 = (17 - c) / 2

Умножим обе стороны на 2:

4 = 17 - c

Отсюда находим c:

c = 17 - 4 = 13 см

Теперь мы можем найти катеты a и b. Поскольку a + b = 17, и мы знаем, что c = 13, мы можем использовать теорему Пифагора:

c² = a² + b²

13² = a² + (17 - a)²

Раскроем скобки:

169 = a² + (289 - 34a + a²)

169 = 2a² - 34a + 289

Переносим 169 в правую часть:

0 = 2a² - 34a + 120

Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-34)² - 4 * 2 * 120 = 1156 - 960 = 196

Теперь находим корни уравнения:

a = (34 ± √196) / 4

a = (34 ± 14) / 4

Таким образом, у нас есть два решения:

• a1 = (48) / 4 = 12 см
• a2 = (20) / 4 = 5 см

Соответственно, b будет равен:

• b1 = 17 - 12 = 5 см
• b2 = 17 - 5 = 12 см

Теперь мы можем найти периметр:

Периметр (P) = a + b + c = 12 + 5 + 13 = 30 см

И площадь:

S = (a * b) / 2 = (12 * 5) / 2 = 30 см²

Ответ:

• Периметр = 30 см
• Площадь = 30 см²