Помогите, пожалуйста, решить следующие задачи по геометрии:

1. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Как найти гипотенузу данного треугольника?
2. Как найти катет прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна 25 дм, а второй катет равен 15 дм?
3. Сторона прямоугольника равна 7 см, а диагональ 25 см. Как найти другую сторону прямоугольника и его периметр?
4. Как найти sin a, если cos a равен 2/3?
5. Как найти тангенс угла А и косинус угла В треугольника АВС с прямым углом С, если ВС 8 см, АВ 17 см, АС 15 см?
6. Периметр ромба равен 20 см, а одна из его диагоналей равна 8 см. Как найти вторую диагональ?
7. Как найти значение выражения sin²25° + cos²25° - sin 60°?
8. Как найти площадь равнобедренной трапеции, если ее основания равны 5 см и 17 см, а боковая сторона равна 10 см?

Рисунок должен соответствовать условию задачи. Справа от рисунка пишем "дано" с обозначениями, соответствующими рисунку.

Геометрия 8 класс Прямоугольные треугольники и тригонометрия геометрия 8 класс задачи по геометрии прямоугольный треугольник гипотенуза катет треугольника сторона прямоугольника диагональ прямоугольника sin cos тангенс периметр ромба площадь трапеции Новый

Задача 1: Найти гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см.

Для нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника мы можем использовать теорему Пифагора. Она гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

1. Обозначим катеты как a = 5 см и b = 12 см.
2. Применим формулу: c² = a² + b², где c - гипотенуза.
3. Подставим значения: c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.
4. Теперь найдем c: c = √169 = 13 см.

Таким образом, гипотенуза равна 13 см.

Задача 2: Найти катет прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна 25 дм, а второй катет равен 15 дм.

1. Обозначим гипотенузу как c = 25 дм, а один катет как b = 15 дм.
2. Согласно теореме Пифагора: c² = a² + b², где a - искомый катет.
3. Подставим известные значения: 25² = a² + 15².
4. Это дает: 625 = a² + 225.
5. Теперь решим уравнение: a² = 625 - 225 = 400.
6. Найдём a: a = √400 = 20 дм.

Таким образом, искомый катет равен 20 дм.

Задача 3: Найти другую сторону прямоугольника, если одна сторона равна 7 см, а диагональ 25 см.

1. Обозначим одну сторону как a = 7 см, а диагональ как d = 25 см.
2. Используем теорему Пифагора: d² = a² + b², где b - другая сторона.
3. Подставим значения: 25² = 7² + b².
4. Это дает: 625 = 49 + b².
5. Теперь решим уравнение: b² = 625 - 49 = 576.
6. Найдём b: b = √576 = 24 см.

Теперь найдем периметр прямоугольника:

1. Периметр P = 2(a + b) = 2(7 + 24) = 2 * 31 = 62 см.

Таким образом, другая сторона равна 24 см, а периметр равен 62 см.

Задача 4: Найти sin a, если cos a равен 2/3.

Используем основное тригонометрическое тождество:

sin²a + cos²a = 1.

1. Подставим значение cos a: sin²a + (2/3)² = 1.
2. Это дает: sin²a + 4/9 = 1.
3. Теперь решим уравнение: sin²a = 1 - 4/9 = 5/9.
4. Найдём sin a: sin a = √(5/9) = √5/3.

Таким образом, sin a равен √5/3.

Задача 5: Найти тангенс угла A и косинус угла B треугольника ABC с прямым углом C, если BC = 8 см, AB = 17 см, AC = 15 см.

Для нахождения тангенса угла A:

1. Тангенс угла A определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему: tan A = BC / AC.
2. Подставим значения: tan A = 8 / 15.

Теперь найдем косинус угла B:

1. Косинус угла B определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos B = AC / AB.
2. Подставим значения: cos B = 15 / 17.

Таким образом, tan A = 8/15, а cos B = 15/17.

Задача 6: Периметр ромба равен 20 см, а одна из его диагоналей равна 8 см. Найти вторую диагональ.

Периметр ромба P = 4a, где a - сторона ромба, поэтому:

1. Найдём сторону: a = P / 4 = 20 / 4 = 5 см.

Теперь используем формулу для диагоналей ромба:

1. Обозначим диагонали как d1 = 8 см и d2.
2. Согласно свойству ромба: a² = (d1² + d2²) / 4.
3. Подставим известные значения: 5² = (8² + d2²) / 4.
4. Это дает: 25 = (64 + d2²) / 4.
5. Умножим обе стороны на 4: 100 = 64 + d2².
6. Теперь решим уравнение: d2² = 100 - 64 = 36.
7. Найдём d2: d2 = √36 = 6 см.

Таким образом, вторая диагональ равна 6 см.

Задача 7: Найти значение выражения sin²25° + cos²25° - sin 60°.

Используем основное тригонометрическое тождество:

1. sin²25° + cos²25° = 1.
2. Теперь подставим значение sin 60°: sin 60° = √3/2.
3. Таким образом, выражение: 1 - √3/2.

Таким образом, значение выражения равно 1 - √3/2.

Задача 8: Найти площадь равнобедренной трапеции, если ее основания равны 5 см и 17 см, а боковая сторона равна 10 см.

Для нахождения площади трапеции используем формулу:

Площадь S = ((a + b) / 2) * h, где a и b - основания, h - высота.

Сначала найдем высоту h. Для этого применим теорему Пифагора:

1. Обозначим основания: a = 5 см, b = 17 см.
2. Разделим разность оснований пополам: (b - a) / 2 = (17 - 5) / 2 = 6 см.
3. Теперь используем теорему Пифагора для нахождения высоты: h² + 6² = 10².
4. Это дает: h² + 36 = 100.
5. Решим уравнение: h² = 100 - 36 = 64, h = 8 см.

Теперь подставим значения в формулу для площади:

1. S = ((5 + 17) / 2) * 8 = 11 * 8 = 88 см².

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна 88 см².