Давайте разберемся с задачей по шагам.

У нас есть трапеция ABCD, где AD и BC — это основания, а BD — диагональ, которая равна 7. Трапеция вписана в окружность, и это важный момент, так как у нас есть некоторые свойства, которые мы можем использовать.

Сначала найдем длину отрезка AK.

1. Свойства вписанной трапеции: Поскольку трапеция ABCD вписана в окружность, то ее противоположные углы равны, а также сумма углов ABC и ADC равна 180 градусам.
2. Используем теорему о секущих и касательных: Мы знаем, что отрезок BK равен 7, и что BK является касательной к окружности в точке K. В этом случае, согласно теореме о касательной и секущей, длина отрезка AK будет равна длине отрезка BD.
3. Следовательно: AK = BD = 7.

Таким образом, длина отрезка AK равна 7.

Теперь перейдем ко второй части вашего вопроса, где нужно доказать, что угол между касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равен половине градусной меры дуги, заключенной между его сторонами.

Вот как это можно объяснить:

1. Определим элементы: Пусть у нас есть окружность с центром O, касательная к окружности в точке A и хорда BC, которая пересекает окружность в точках B и C.
2. Обозначим угол: Угол между касательной и хордой, который мы хотим изучить, обозначим как угол CAB.
3. Дуга: Дуга BC — это часть окружности, заключенная между точками B и C.
4. Свойство углов: Согласно свойству углов, угол CAB равен половине градусной меры дуги BC. Это значит, что угол CAB = 1/2 * (мера дуги BC).

Таким образом, мы доказали, что угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, заключенной между его сторонами.

Если у вас есть еще вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать!