Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства окружности и треугольников. Давайте разберем шаги по порядку.

1. Определим элементы задачи. У нас есть окружность с центром О, хорда АВ длиной 30 см и перпендикуляр ОС, который проведен из центра окружности к хорде АВ. Угол ОАВ равен 45 градусов.
2. Используем свойства треугольников. Мы можем рассмотреть треугольник ОАВ. В этом треугольнике ОС является высотой, которая делит хорду АВ на две равные части. Таким образом, отрезки АС и БС равны и составляют по 15 см, так как 30 см / 2 = 15 см.
3. Применим тригонометрию. Теперь мы можем использовать угол ОАВ для нахождения длины перпендикуляра ОС. В треугольнике ОАС угол ОАВ равен 45 градусов. Мы можем использовать функцию тангенса, которая определяется как отношение противолежащего катета (АС) к прилежащему катету (ОС):
4. Записываем соотношение: tan(45 градусов) = противолежащий катет / прилежащий катет = АС / ОС. Поскольку tan(45 градусов) = 1, мы имеем:
5. Подставляем значения: 1 = 15 см / ОС. Отсюда следует, что ОС = 15 см.

Таким образом, длина перпендикуляра ОС равна 15 см.